lehrkraefte:ks:ffstat2122:start

Ziele

  • Auswertung Fragebogen
  • Besprechung Freifach Statistik

Aufträge

  • Daten herunterladen und einlesen und «inspizieren». Was fällt auf? Sind die Daten so realistisch? In R ggf. mit summary
  • Analysen auswählen
    • Welche Analysen sind in welcher Variabel-Konstellation möglich? (Nominal, ordinale, kardinale Variablen)
    • Analysen durchführen und Resultate (Grafiken oder Tabellen) in einem Dokument festhalten
  • Ggf. Daten recodieren (s.u.)

Theorie

Beim «Rekodieren» oder «recoden» geht es darum, Variablen einen anderen Wert zuzuordnen. Gründe können können sein, dass ordinale Daten kardinal interpretiert werden. In Excel geht das am einfachsten mit suchen und ersetzen (Achtung bei der Reihenfolge: Wenn eine Teiltext ein Suchtreffer ist, wird dieser ersetzt). In R gibt es verschieden Möglichkeiten:

  • gsub funktioniert wie suchen und ersetzen in Excel
  • Mit Index-Vektoren wie z.B. in dieser Erklärung.
  • Mit recode wie ebenfalls z.B. in dieser Seite erklärt.

Daten einlesen und recodieren in R

Idealerweise werden die Zeilenspaltentitel bereits in Excel angepasst. Damit hat man kurze Variabelnamen und man kann dann mit read.table(file('clipboard'), sep='\t',header=T) die Daten einlesen.

Sind die Daten eingelesen, kann mit

gluecksdata <- read.table(file('clipboard'), sep='\t',header=T)
# Recodieren
# Annahme die 8. Spalte hat neu den Titel 'allinall'
gluecksdata$allinall <- gsub("sehr unglücklich",5,glueckdata$allinall)

Mögliche Lösung

Mögliche Lösung

data <- read.table(file("clipboard"),sep="\t",header=T)
head(data)
library(ggplot2)
names(data)
#gesamtglück
data$overall <- with(data,(insgesamt.+lately.+happylife+happymonth+happyoverall)/5)
#glück vs. aussehen
ggplot(data,aes(y=overall,x=looks))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
#glück vs. gesundheit
ggplot(data,aes(y=overall,x=health))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
#glück vs. sleep
ggplot(data,aes(y=overall,x=sleep))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
ggplot(subset(data,sleep<30),aes(y=overall,x=sleep))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)

with(subset(data,sleep<30),cor(overall,sleep,use = "pairwise.complete"))
ggplot(data,aes(y=overall,x=free))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
ggplot(subset(data,free<30),aes(y=overall,x=free))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
ggplot(data,aes(y=overall,x=social))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
ggplot(subset(data,social<30),aes(y=overall,x=social))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
ggplot(data,aes(y=overall,x=sport))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
ggplot(data,aes(x=overall))+geom_histogram(position = "identity")+facet_grid(gender~.)
ggplot(data,aes(x=overall,y=gender))+geom_boxplot()
ggplot(data,aes(y=overall,x=age))+geom_point()+geom_smooth(method="lm",se = F)
ggplot(data,aes(x=meanin,y=overall))+geom_boxplot()
ggplot(data,aes(x=morning,y=overall))+geom_boxplot()
ggplot(data,aes(x=morning,y=overall))+geom_violin()
ggplot(data,aes(x=important,y=overall))+geom_boxplot()
library(corrplot)
relvar <- sapply(data,is.numeric)
corrplot(cor(subset(data[,relvar],free<30),use="pairwise.complete")) 
ggplot(da)

Ziele

  • Unser Fragenbogen ist bereit für die Datenerhebung
  • Jede/r kann die Begriffe «Modellwelt» (Wahrscheinlichkeit, theoretisch) und «Beobachtete Welt» (Statistik, beobachtet) einordnen und umgangssprachlich erklären
  • Jede/r kann den Begriff «Binomialverteilung» umgangssprachlich erklären und die theoretische Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein gewisses Phänomen eine bestimmte Anzahl mal auftritt
  • Optional: Jede/r kann den Begriff «Normalverteilung» (siehe oben) umgangssprachlich erklären

Autrag

  • Den Fragebogen einmal als Proband ausfüllen: Link zur Probandensicht
  • Ggf. den Fragenbogen anpassen. Link zum Duplizieren des Fragenbogens.
  • Dem Lehrer zuhören und anschliessend die Wandtafel fotografieren.
  • Experimente (Statistik) versus Theorie (Wahrscheinlichkeit)
    • Wirf eine Münze $n$ mal (=WENN(ZUFALLSZAHL()<0.5;“K”;“Z”) und zähle (ANZAHL() oder =ZÄHLEWENN()) die Anzahl Male «Kopf». Berechne auch die durchschnittliche Anzahl Kopf pro Wurf. Wie ist dieser Durchschnitt in der «Modellwelt» zu interpretieren?
    • Wirf drei Münzen $n$ Mal gleichzeitig und zähle jeweils die Anzahl «Zahl». Fertige ein Histogramm an.
    • Berechne mit Excel die theoretischen Wahrscheinlichkeiten für eine Binomialverteilung (drei Münzen, $0$, $1$, $2$, $3$ mal Zahl) und vergleiche diese Werte mit dem Histogramm aus der vorigen Aufgabe
    • Jemand hat 100 mal eine Münze geworfen. Wie gross ist die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass man genau 67 mal Kopf beobachtet? Nimm an, dass die Münze ausgeglichen ist.
    • Schau dir das das Video zur «Tea Tasting Lady» an. Überlege dir, welche «Fehlentscheide» enstehen können.

Histogramm

Histogramm

Die Zufallsvariable $X$ «Anzahl Zahl» kann die Werte $0$, $1$, $2$ und $3$ annehmen. Es geht jetz also darum (siehe Blätter), die relative Häufigkeit $h(x)=\frac{n_x}{n}$ zu berechnen und die Werte aufzuzeichnen

Tipps R

Tipps R

Mit R könnte das entweder mit der Funktion sample(…) gelöst werden oder mit ifelse(…) und runif. Bei beiden Varianten kann die Wahrscheinlichkeit gewählt werden.

Erklärungen

Die Formel BINOM.VERT kann in Excel verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen bei $n$ Durchführungen eines Experiments genau $k$ mal Erfolg zu haben wobei der Erfolg mit Wahrscheinlichkeit $p$ eintritt. Man muss dann BINOM.VERT(k;n;p; FALSCH) aufrufen. FALSCH ist dabei notwendig, dass man die Wahrscheinlichkeit erhält. Würde WAHR stehen, erhielte man die Summe aller Wahrscheinlichkeiten mit Anzahl Erfolgen kleiner gleich $k$. In R kann genau das gleiche mit dbinom(k, n, p) erreicht werden.

Ziel

  • Umfrage für unser Projekt steht und ist nach Möglichkeit bereits getestet.

Aufträge

  • Jede/r hält Fragen fest, die zusätzlich erhoben werden sollen, um unser «Forschungsprojekt» zu durchzuführen.
  • Welche Auswertungen können mit diesen Fragen beantwortet werden?
    • Welche statistischen Kenngrössen braucht man dazu?
    • Welche Analysen sind notwendig?
  • Erste Analyse bereits mit Dummy-Daten durchführen um festzustellen, ob die Idee funktionieren.
  • Plan wie man zu Daten kommt erarbeiten
    • Online
    • Offline, QR, etc.

Ziele

  • Jede/r kann die $Z$-transformierte (standardisierte) eines Merkmals ausrechnen.
  • Jede/r kann auf Grund von Histogrammen der $Z$-transformierten Merkmale entscheiden, ob ein Merkmal normalverteilt ist.
  • Optional: Jede/r kann die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Merkmal innerhalb / ausserhalb eines Intervalls zu liegen kommt.

Aufträge

  • Theorie durchlesen
  • Für die Variablen aus der Excel-Datei zu Geburtsgewicht, Autopreise und Aktienrenditen
    • jeweils standardisieren
    • in einer weiteren Spalte zwei Histogramme erstellen: Eines vor und eines nach der Standardisierung (z.B. mit Geogebra) und
    • entscheiden, ob die Variable (resp. das Merkmal) normalverteilt ist oder nicht.
  • Optional: Für die normalverteilten Variablen ein Intervall der Form $[a,b]$ angeben, in welchem $95\%$ der Daten zu liegen kommen.
  • Intelligenzquotient als Beispiel einer normalverteilten Zufallsgrösse. Schaut euch die Videos unten an.
  • Jede/r hält Fragen fest, die zusätzlich erhoben werden sollen, um unser «Forschungsprojekt» zu erheben.

Lösungen

Lösungen

Die Intervalle berechnen sich jeweils aus Mittelwert $\pm$ $2\sigma$:

  • Geburtsgewichte: $[2024.9, 4499.4]$
  • Autopreise: $[-4731.3, 95521.4]$
  • Aktienrenditen: $[-0.02345, 0.02378]$

Theorie

Normalverteilung

Grosse Teile der Statistik beruhen auf der sogenannten Normaleverteilung. Eine Grösse resp. ein Merkmal ist normalverteilt, wenn die Ableitung der Verteilungsfunktion durch $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ gegeben ist. Für unsere Zwecke erscheint das aber kryptisch und wir beschränken uns darauf, festzuhalten, dass ein Histogram einer Standard-Normalverteilten Zufallsvariable wie folgt aussieht:

Aussehen Normalverteilung

Dabei ist wichtig festzuhalten, dass die Anzahl der Klassen in Histogramm offensichtlich willkürlich ist. Der theoretische Unterbau besagt aber, dass die Klassen beliebig klein gewählt werden können und das Histogramm zum Schluss (bei unendlich kleiner Klassenbreite und unendlich vielen Beobachtungen) dem Graphen der Funktion $f$ von oben entspricht.

Standardnormalverteilung und Standardisieren

Um nun sicher zu stellen, dass man immer von der gleichen Normalverteilung spricht, transformiert man Merkmale. Wenn $\mu_X=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i$ und $\sigma_X=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}$ ist, dann sagt man, dass das Merkmal $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ das standardisierte Merkmal von $X$ ist. Man kann dann jede Beobachtung $x_i$ zu $z_i=\frac{x_i-\mu}{\sigma}$ standardisieren.

$x_i$$x_i-\mu_X$$\frac{x_i-\mu_X}{\sigma_X}$
-5-9-1.21
510.13
510.13
0-4-0.54
15111.48
$\mu$400
$\sigma$7.417.411

Berechnet man nun den Mittelwert von $Z$ (geschrieben: $\mu_Z$) und die Standardabweichung von $Z$ (geschrieben: $\sigma_Z$) so kommt – egal wie $X$ ursprünglich verteilt ist – heraus, dass $\mu_Z=0$ und $\sigma_Z=1$ ist.

Beweis

Beweis

Es gilt ja $\mu_z=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i -n\cdot\frac1n \mu_x = \mu_x-\mu_x=0$.

Das gleiche Arugment kann für $\sigma_Z$ geführt werden: Die Rechnung wird etwas garstiger, funkioniert aber genau gleich.

Ist nun ein Merkmal $X$ normalverteilt so ist das standardisierte Merkmal standardnormalverteilt, das heisst, es ist normalverteilt Standardabweichung $\sigma=1$ und Mittelwert $\mu=0$.

Wahrscheinlichkeiten

Für standard-normalverteilte Merkmale – und damit auch für normalverteilte Merkmale – können sehr starke Aussagen über die Verteilung gemacht werden. So gilt z.B., dass im Intervall $[\mu_X-\sigma_X,\mu_X+\sigma_X]$ $68\%$ der Daten liegen. Für andere Vielfachen gilt die Tabelle unten:

k Prozent in $[\mu_x-k\cdot\sigma_X,\mu_x+k\cdot\sigma_X]$
1 $68.3\%$
2 $95.4\%$
3 $99.7\%$
4 $\approx 100\%$

Hat ein normalverteiltes Merkmal zum Beispiel den Mittelwert $\mu_X=11.2$ und $\sigma_X=3.1$ dann liegen ca. $68\%$ der Daten im Intervall $[8.1,14.3]=[11.2-3.1,11.2+3.1]$, das heisst in einem Intervall der Breite $2\sigma$, zentriert um den Mittelwert, liegen ca. $68\%$ der Daten.

Relevanz

Der Begriff einer (Standard-)normalverteilten Variable ist sehr wichtig: Einerseits, weil theoretisch gezeigt werden dann, dass die Summe vieler gleichartiger und unabhängiger Zufälle immer normalverteilt ist und andererseits weil eben gerade die Eigenschaft dazu führt, dass viele Daten in der “Welt da draussen” normalverteilt sind.

Aus einer mathematischen Sicht gilt noch anzumerken, dass zum Teil auch der Logarithmus eines Merkmals normalverteilt sein kann. Dies ist dann der Fall, wenn davon auszugehen ist, dass das Merkmal das Produkt vieler gleichartigen und unabhängigen Zufällen ist.

Daten in R

#Daten aus Clipboard
inputdata <- read.table(file("clipboard"), sep="\t") #returns dataframe from excel clipboard separated by tab
#oder
inputdata <- readClipboard(file("clipboard")) #if single column
#oder
inputdata <- read.csv2("filenname.csv") #separation by semicolon

Ziele

  • Jede/r kann die Regression von letzten Mal mit und ohne Logarithmus des Preis korrekt interpretieren
  • Multivariate Regression
    • Jede/r kann eine multivariate Regression mit Excel oder R durchführen.
    • Jede/r kann die Koeffizienten von kardinalen und optional Dummy-Variablen einer multivariaten Regression interpretieren.

Autrag

  • Modell vom letzten Mal in normaler (Variante 1) und logarithmischer Spielweise (Variante 2) nochmals durchrechnen. Die Koeffizienten in beiden Modellen interpretieren und als Satz (!!!) festhalten.
  • Gefahrene Kilometer für ein BMW Model auf Alter regressieren. Wie ist der Koeffizient ($m$) vom Alter zu interpretieren?
  • Theorie Teil I unten durcharbeiten und durchlesen
  • Multivariate Regression des Preises mit Kilometer und Alter durchführen für ein Auto-Modell
  • Theorie Teil II unten durcharbeiten.
  • Multivariate Regression mit Kilometer, Alter und einem beliebigen Dummy (Farbe Rot, Unfall, Getriebe-Art, etc.) durchführen.
  • Plausibilität der erhaltenen Modelle / Koeffizienten mit dem Partner besprechen und auf Plausibilität überprüfen.

Daten Lektion 10

Für diese Lektion sind den ursprünglichen Daten mehrere Kolonnen (Alter in Tagen, Alter in Jahren, Diesel Ja) hinzugefügt worden, die in dieser Lektion zu verwenden sind. Diese finden sich hier als Excel-Datei.

Theorie

Teil 1

Beim letzten Mal haben wir die univariate Regression besprochen. Dabei geht es darum eine Variable ($Y$, Preis) auf eine andere Variable ($X$, Kilometer) zu regressieren. Zum Schluss haben wir ein Modell erhalten, dass einen Zusammenhang der Form \[ Y=q+m\cdot X \] beschreibt. Man sagt auch $Y$ ist die abhängige Variable, $X$ die erklärende Variable.

Mathematisch genau

Mathematisch genau

Dabei ist zu beachten, dass $Y$ und $X$ die Variablen sind. Das Modell müsste eigentlich lauten: \[ Y_i=q+m\cdot X_i+\varepsilon_i. \] Dabei ist $X_i$ und $Y_i$ die $i$-te Beobachtung und $\varepsilon_i$ ein Fehler, der die Ungenauigkeit oder eben die Abweichung vom Modell beschreibt. $m$ und $q$ sind nun so bestimmt worden, dass eben die Summe dieser beobachten quadrierten Fehlern minimal ist.

Man könnte jetzt noch weiter gehen und eine Variable ($Y$, Preis) auf mehrere andere Variablen ($X_1$, Kilometer; $X_2$, Alter) regressieren. Das Modell in diesem Fall würde dann lauten: \[ Y=q+m_1\cdot X_1 + m_2\cdot X_2. \] Der Preis ($Y$) ist dann also eine lineare Funktion der gefahrenen Kilometern ($X_1$) sowie des Alters ($X_2$).

Man kann diese Überlegung nun auf beliebig viele erklärende Variablen ausweiten um ein allgemeines Modell mit $k$ Variablen der Form \[ Y=q+m_1\cdot X_1 + \cdots+m_k\cdot X_k \] zu erhalten. Die Idee ist dabei dieselbe wie bei der univariaten Regression (Lektion 09): $q$, $m_1\ldots,m_k$ werden so bestimmt, dass die Summe der quadratischen Abweichungen der Modellvorhersage vom beobachteten Wert minimal ist. Die Werte $q$, $m_1\ldots,m_k$ heissen auch Koeffizienten. In statistischen Kontext verwendet man dafür auch oft die Buchstaben $\beta$: Es ist dann $\beta_0=q$ und $\beta_i=m_i$.

Mathematisch genau

Mathematisch genau

Das Problem der Lektion 09 konnten wir uns im zweidimensionalen Fall $\mathbb{R}^2$ vorstellen: Wir suchen eine Gerade, welche optimal durch die Punktewolke läuft. Das Problem dieser Lektion ist analog: Wir haben nun einen dreidimensionalen Fall in $\mathbb{R}^2$, wenn wir zwei Variablen verwenden, um den Preis zu erklären. Entsprechend könnte man $Y=q+m_1\cdot X_1 +m_2\cdot X_2\Leftrightarrow 0=q+m_1\cdot X_1 +m_2\cdot X_2-Y$ als Koordinatenform einer Ebene verstehen ($0=Ax+By+Cz+D$ wobei $x=X_1$, $y=X_2$ und $z=Y$), welche eben wiederum optimal durch die Punktewolke verläuft. $q$, $m_1$ und $m_2$ werden nun so bestimmt, dass diese Optimalität eben erfüllt ist.

Das Kriterium für die Optimalität ist in beiden Fällen die minimale Summe der quadrierten Abweichungen.

Das Problem kann nun generalisiert werden ist aber dann kaum mehr schwer vorstellbar. Möchte man eine Variable (Preis) mit anderen $n$ Variablen erklären, kann man das im $n+1$-dimensionalen Raum machen und sich eine sogenannte Hyperebene suchen, welche eben die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert.

Teil 2

Alle bisher betrachteten Variablen waren kardinaler Natur (Preis, Kilometer, Verbrauch, etc.). Möchte man nun nominale Variablen als erklärende Variablen verwenden (z.B. Farbe, Getriebeart, Treibstoff etc.) so muss man diese erst in sogenannte Dummy-Variablen umwandeln.

Für den Treibstoff könnte man unterscheiden zwischen «Diesel» und «Nicht Diesel»: Man kreiert also eine neue Variable diesel_ja welche den Wert $1$ annimmt, wenn das Fahrzeug mit Diesel ist und $0$ sonst. Damit ist dann der Wert des zur Variable diesel_ja gehörenden Koeffizienten, eben genau dieser Betrag, um welcher der Preis erhöht wird, wenn das Auto mit Diesel fährt. Genau gleich kann man mit allen nominalen Variablen verfahren, die zwei Ausprägungen haben (z.B. Schaltung/Manuell, Unfall/kein Unfall, etc.)

Für Variablen, die mehr als zwei Ausprägungen haben. Man erstellt in diesem Fall einfach mehrere Dummy-Variablen. Z.B. könnte man um die Farben rot, grün, blau in einer Regression folgende zwei Dummy-Variablen berüchichtigen um dann die ursprünglichen Farben zu codieren

rot_ja grün_ja
rot 1 0
grün 0 1
blau 0 0

Der Koeffizient von rot_ja ist dann die Preisdifferenz eines roten Autos; der Koeffizient von grün_ja ist die Preisdiffernez eines grünen Autos. Offensichtlich wird dabei immer die Preisdifferenz zu einem Basisauto angenommen, welches im Fall der obigen Codierung blau ist.

Um eine Nominale-Variable mit $n$ Ausprägungen zu codieren, braucht man also $n-1$ Dummy-Variablen.

Durchführung

Excel kann genau gleich wie univariate Regression auch multivariate Regression durchführen. Für die Beispieldaten könnte ein Modell, welches Preis auf die Variablen Alter, Kilometer, Alter (Jahren) und Verbrauch regressiert, wie folgt über den Assistenten eingegeben werden:

Wichtig dabei ist, dass alle erklärenden Variablen in nebeneinanderliegen Spalten sind (Oben: In den Spalten Z bis AC, für die Zeilen 1 [Titel] bis 3931).

Caveat: Excel ist nicht die optimale Lösung für solche Probleme. Dies äussert sich auch in z.T. ungenauen / falschen Berechnungen. Für weiterführende Zwecke, sollte ein Statistikprogramm verwendet werden.

R-Lösung

R-Lösung

bmwdata <- read.table(file("clipboard"), sep = "\t", header = T)
head(bmwdata)
regressionsmodell <- lm(preis ~ kilometer + alter_jahre + verbrauch + diesel_ja, data = bmwdata)
summary(regressionsmodell)

Ziele

  • Jede/r kann eine eindimensionale Regression mit Excel durchführen und interpretieren.
  • Jede/r kann das Problem (mathematisch) formulieren, dessen Lösung die Ausgleichsgerade ist.
  • Jede/r kann eine Schätzung abgeben, wie viel ein gefahreren Kilometer gemäss dem eigenen Regressionsmodell kostet

Aufträge

  • Theorie Regression
    • Theorie Regression unten durcharbeiten
    • Demo-Video zur Durchführung Regression in Excel anschauen
  • Praxis Regression:
    • Regression auf den beiden Tabellenblättern (Bsp 1 und Bsp 2) in der Datei zur heutigen Lektion durchführen.
      • Scatterplot erstellen
      • Regression durchführen, Geradengleichung aufstellen und Koeffizienten interpretieren.
      • Mögliche Fragen:
        • Wie lautet die Gleichung der beiden Geraden?
        • Welche Gerade ist «besser»?
    • Regression für ein BMW-Modell durchführen
      • Eine Regression durchführen, bei der der Preis auf die gefahrenen Kilometer regressiert wird. Modell (Geradengleichung) aufstellen und «Kosten» eines Kilometers (von 1000 Kilometern) angeben.
      • Freiwillig: Anstelle des Preises kann auch der Logarithmus des Preises als $y$-Variable verwendet werden. Wird das Modell ($R^2$) besser oder schlechter? Was heisst das für die Interpretation?

Theorie

Bei der Regression geht es letztendlich darum, den Zusammenhang, der in der letzten Lektion mit der Korrelation beobachtet worden ist, genauer zu beschreiben.

Die Idee der Regression ist, die Summe der quadratischen Abstände einer Geraden zu den beobachteten Datenpunkten zu minimieren. Dabei ist wichtig zu beachten, dass nur die vertikalen Abstände betrachtet werden:

Jede lineare Funktion $g$ kann als $g:y=mx+q$ beschrieben werden. Man sucht also $m$ und $q$ so, dass die quadrierte Summe der Längen der gestrichelten Linien minimal ist.

Streng mathematisch ausgedrückt hat man die Wertepaare $(x_1,y_1),\, (x_1,y_1),\,(x_3,y_3), \ldots,(x_n,y_n)$. Hat man nun einen beobachtete $x$-Wert $x_i$ so ist die Vorhersage der Gerade für den $y$-Wert $mx_i+q$. Für ein gegebenes $m$ und $q$ ist damit der Abstand des $i$-ten Datenpunktes also $y_i-(mx_i+q)$, entsprechend ist der quadrierte Abstand des $i$-ten Datenpunktes $y_i-(mx_i+q))^2$.

Schliesslich sucht man eben $m$ und $q$ so, dass die Summe $$ (y_1-(mx_1+q))^2+(y_2-(mx_2+q))^2+(y_3-(mx_3+q))^2+\cdots (y_n-(mx_n+q))^2=\sum_{i=1}^n (y_i-(mx_i+q))^2 $$ minimal ist, das heisst, dass die Summe der quadrierten Abstände möglichst klein ist.

Betrachtet man diese Summe genauer, stellt man fest, dass dieser Ausdruck ein quadratischer Ausdruck ist, wenn man $m$ und $q$ als Variablen betrachtet. In anderen Worten, würde man – für gegebene Datenpunkte werden $x_i$ und $y_i$ zu Zahlen – diesen Ausdruck als Graph darstellen, erhielte man eine Parabel. Für Parabeln kann der Scheitelpunkt, welcher das Minimum der Parabel ist, einfach mit der Scheitelpunktformel berechnet werden.

Mit dieser Feststellung kann dann $m= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2}$ und $q=\bar y-m\bar x$ berechnet werden. Die Berechnung von $m$ und $q$ mit diesen Formeln führt zum Ziel, ist aber umständlich. Alle vernünftigen Datenanalyse-Programme können sogenannte Regressionsanalysen – oder eben Ausgleichsgeraden – berechnen.

R-Code

R-Code

regressionanalyse.r
## Bsp Video Daten aus Excel in der Zwischenablage:
regdf <- read.table(file("clipboard"), sep = "\t", header = T)
lm(y ~ x, data = regdf)
summary(lm(y ~ x, data = regdf))
 
## Syntethische Daten
# Parameter um Daten zu generieren
nobs <- 40
m <- 3
q <- -2
 
# Generieren der Daten
 
# Zufällige x Werte
xdat <- runif(nobs) * 10
# y Werte gemäss y=mx+q plus Zufall
ydat <- m * xdat + q + rnorm(nobs, sd = 4)
 
# Zusammenfassen in dataframe
regdf <- data.frame(x = xdat, y = ydat)
 
# Regressionsmodell
lm(y ~ x, data = regdf)
# Übersicht Regressionsmodell
summary(lm(y ~ x, data = regdf))

Lösungen

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Berechnet man für die normalen Preise (nicht $\log$) die Regressiongerade, erhält man:

  • x1: $y = -0.3029\cdot x+47132$
  • x3: $y = -0.2412\cdot x+52607$
  • x4: $y = -0.3317\cdot x+65518$
  • x5: $y = -0.35\cdot x+78561$
  • x6: $y = -0.3912\cdot x+82847$

Für den X1 «kostet» also ein gefahrener Kilometer ca. 30 Rp, für den X6 kostet dieser ca. 39 Rp

Ausfall: Auftrag siehe Teams resp. Mail.

Ziele

  • Jede/r kann einen Scatterplot von zwei Datenreihen / Merkmalen erstellen
  • Jede/r kann die Korrelation von zwei Datenreihen / Merkmalen berechnen
  • Jede/r kann die Korrelation interpretieren und die Masszahl Punktewolken aus dem Scatterplot zuordnen.
  • Erste Ideen für ein eigenes Projekt.

Auträge

  • Lies die Theorie unten durch.
  • Korrelation im Auto-Datensatz
    • Wähle ein BMW-Modell und erstelle eine Scatterplott, wobei der Preis auf der $y$-Achse ist und eine erklärende Variable auf der $x$-Achse ist. Was wären sinnvolle Variablen für die $x$-Achse, für welche du einen Zusammenhang mit dem Autopreis vermutest?
    • Berechne die Korrelation und das Bestimmtheitsmass für die gewählten Variablen.
    • Welche Korrelationen (Vorzeichen und Stärke) vermutest du im Datensatz? Welche zwei Variablen sind jeweils wie korreliert?
  • Schau dir die Webseite Tylver Vigen an: Wähl dir das widersinnigste Beispiel. Gibt es eine Erklärung dafür? (Die aktuelle Version dieser Webseite ist schöner, allerdings ohne Tabellen)
  • Besprich mit deinem/r Nachbar:in Ideen für eine eigene Projekte, welche untersucht werden könnte und halte diese hier fest.

Theorie

Wird ein Zusammenhang zwischen zwei kardinalen Merkmalen vermutet, sollte als erstes ein sogenannter Scatterplot erstellt werden. Zu diesem Zweck, wird das eine Merkmal auf der $x$-Achse und das andere Merkmal auf der $y$-Achse abgetragen.

Nun gibt es ein Mass für diesen Zusammenhang: Die Stärke wie auch die Richtung des Zusammenhangs der Mermkale $X$ und $Y$, $R_{xy}$, wird mit der Korrelation gemessen: $$R_{xy}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}}$$ Die Korrelation nimmt nur Werte zwischen $-1$ und $1$ an. In Excel wie auch in R sind Funktionen zur Berechnung der Korrelation hinterlegt. Wichtig dabei ist zu beachten, dass die Korrelation nur einen linearen Zusammenhang misst:

Möchte man die Stärke der Korrelation messen, quadriert man $R_{xy}$ zur $R^2=R_{xy}^2$. Man spricht von einem «starken Zusammenhang» wenn $0.5\leq R^2\leq 1$ ist, von einem «moderaten Zusammenhang» wenn $0.25\leq R^2 < 0.5$ ist, und schliesslich von einem «schwachen Zusammenhang» wenn $0.1\leq R^2<0.25$ ist. Ist schliesslich $R^2$ kleiner so liegt kein Zusammenhang vor. $R^2$ wird auch Bestimmtheismass genannt.

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass Richtung und Stärke eines linearen Zusammenhangs gemessen werden kann:

  • Richtung: Eine positive Korrelation beschreibt eine «je-mehr-desto-mehr» Beziehung, eine negative Korrelation beschreibt eine «je-weniger-desto-mehr» Beziehung.
  • Stärke: Um nur eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs unabhängig der Richtung zu machen, verwendet man das Bestimmtheitsmass $R^2$, die quadrierte Korrelation.

Korrelation und Kausalität

Auch wenn $R^2$ sehr gross ist, muss das nicht heissen, dass in Tat und Wahrheit wirklich ein Zusammenhang dieser beiden Variablen vorliegt. Es kann durchaus sein, dass die Korrelation zufällig zu Stande gekommen ist. Man spricht dann auch von Scheinkorrelation oder in Englisch von spurious correlation.

Kausalität in diesem Zusammenhang besagt, dass ein Merkmal ein anderes bedingt: So ist zum Beispiel bei der Thematik Schuhgrösse und Körpergrösse wirklich davon auszugehen, dass ein kausaler Zusammenhang besteht.

Korrelationen BMW Datensatz nach Modell

R-Code

R-Code

library(corrplot)
png("C:/temp/corrbmw.png",width=300,height=1500)
par(mfrow=c(2,3))
for(mod in sort(unique(bmw$model))){
  tbmw = subset(bmw,model==mod)
  corbmw <- tbmw[,sapply(tbmw,is.numeric) & sapply(tbmw,function(inv){sd(inv,na.rm=T)>0})]
  corrplot(cor(corbmw,use="pairw"),main=mod,mar=c(0,0,1,0))  
}
dev.off()

Ziele

  • Lorenzkurve kennen, «herstellen» und interpretieren können.
  • Gini-Koeffizient kennen und interpretieren können.
  • Erste Ideen eines eigenen Projekts generieren

Aufträge

  • Theorie Lorenzkurve lesen
  • Beispiel mit Hilfe der Excel-Datei zur Lorenzkurve erstellen, die maximal ungleich verteilt sind resp. gleich verteilt sind
  • Eine Lorenzkurve für die Preise der BMW X5 in Excel-Datei erstellen.
  • Artikel zur Lorenzkurve lesen und Seiten 14-16 in Lohnreport der Stadt Zürich betrachten. Überrascht die Grafik? Wie sähe die Verteilung in der Stadt St. Gallen aus? Unglücklicherweise sind die gleichen Daten weder für St. Gallen noch jährlich verfügbar. Zürich hat aber eine aktuelle Studie gerade eben veröffentlicht.
  • Auf der OECD-Webseite können verschiedene Merkmale zur Einkommensverteilung über die Zeit (Schiebregler unten rechts) für verschiedene Länder betrachtet werden. Suche dir ein Land, dessen Gini-Koeffizient sich in den letzten Jahren stark verändert hat. Was könnte eine Geschichte dazu sein?
  • Überlege dir alternative Masse, um Konzentration resp. Ungleichverteilung (im Einkommenskontext) zu messen.
  • Besprich mit deinem/r Nachbar:in Ideen für eine eigene Projekte, welche untersucht werden könnte und halte diese hier fest.

Theorie

Auf Grund der Lorenzkurve kann ausgesagt werden, wie stark die Merkmale (resp. deren Ausprägung) konzentriert sind (ein Konzentrationsmass). Das klassische Beispiel dabei ist die Einkommenverteilung. Die Frage, die dabei gestellt, resp. beantwortet wird, ist “Wie viel Prozent der Leute (Köpfe) verdienen wie viel Prozent des Gesamteinkommens?»

Einkommen Anzahl Personen Kumululierte relative Anzahl Einkommenssumme Kumululierte relative Einkommenssumme
2317 10 0.20 23'170 0.17
2552 11 0.42 28'072 0.37
2787 14 0.70 39'018 0.65
3022 8 0.86 24'176 0.83
3257 3 0.92 9'771 0.90
3492 4 1.00 13'968 1.00
Total 50 138'175

Zeichnet man nun die Punkte $(\text{Kumulierte relative Anzahl},\text{Kumulierte relative Einkommenssumme})=(x,y)$ und verbindet diese, erhält man die Lorenzkurve:


Zwischenfrage: Wo würden die Punkte liegen, wenn alle gleich viel verdienen würden?

Lösung

Lösung

Würden alle gleich viel verdienen, lägen die Punkte auf der Winkelhalbierenden.


Als Mass der Ungleichverteilung verwendet nun die Fläche, welche die Lorenzkurve mit der Winkelhalbierenden einschliesst. Diese Fläche nennt man auch Gini–Koeffizient

Gini-Koeffizient. Quelle: https://www.fuw.ch/wp-content/uploads/2015/01/

Als Beispiel für die Lorenzkurve wiederum die 5 BMW Modelle und ihre Preise. Achtung: Es handelt sich dabei nicht um ein Einkommen!

Die Lorenzkurve macht im Allgemeinen nur Sinn für Merkmale, mit positiven Werten (Preis, Einkommen, etc.)

R Code

R Code

computeLorenzCurve <- function(x, plot = T) {
    nobs <- length(x)
    sortedx <- sort(x)
    abscissa <- (1:nobs)/nobs
    ordinate <- cumsum(sort(x))/sum(x)
 
    if (plot) {
        plot(ordinate, abscissa, main = "Lorenzkurve")
        abline(a = 0, b = 1)
    }
 
    return(cbind(abscissa, ordinate))
}

Ziele

  • Boxplot erstellen und interpretieren
  • Lage und Skalenmasse auf Grund Boxplot und Kennzahlen interpretieren

Aufträge

  • Boxplot
    • Theorie Boxplot unten lesen
    • Einen Boxplot von Hand der Daten 9, 6, 7, 7, 3, 9, 10, 1, 8, 7, 9, 9, 8, 10, 5, 10, 10, 9, 10, 8 erstellen.
    • Einen Boxplot von Hand (mit Hilfe Excel) der Preise von einem BMW Modell (X1 bis X5) erstellen. Dabei soll sein: 1cm ≙ Fr. 10'000
    • Einen Boxplot mit Excel erstellen.
    • Die BMW Boxplots den BMW Histogrammen zuordnen
    • Die BMW Mittelwerte, Standardabweichungen, IQA, Median und $Q_{30\%}$ den Histogrammen und Boxplots zuordnen
  • Ein Beispiel konstruieren, bei dem Median grösser als Mittelwert ist.
  • Eine erhobene Grösse ersinnen, bei der Median (oder ein anderes Quantil) mehr interessiert als der Mittelwert und umgekehrt.

Boxplot

Ein Boxplot besteht aus einer Box, welche durch das erste und dritte Quartil ($Q_{25\%}$ und $Q_{75\%}$) begrenzt ist. Damit liegen $50\%$ der Daten in der Box. Der mittige Strich ist der Median ($q_{50\%}$), die Whiskers (Antennen oder Schnäuze) sind $w_1=Q_{50\%}-1.5\cdot IQA$ und $w_2=Q_{50\%}+1.5\cdot IQA$. $w_1$ und $w_2$ sind dabei zum Teil auch durch den grössten (resp. kleinsten für $w_1$) Wert eines Datenpunktes ersetzt, welcher gerade noch kleiner (resp. grösser für $w_1$) ist als $w_2$. Die Whiskers sind dann nicht symmetrisch. Die Punkte, die ausserhalb der Whiskers liegen, nennt man Outlier oder Ausreisser. Man kann zeigen, dass bei normalverteilten Daten, ca. $95\%$ der Beobachtungen innerhalb der beiden Whiskers zu liegen kommen.

Boxplot der Preise nach Modell

# x1

  • Mittelwert: 34155.8
  • IQA: 27625
  • $Q_{30\%}$: 21900
  • Median: 29900
  • Standardabweichung: 15200.1

# x3

  • Mittelwert: 32018.2
  • IQA: 25225
  • $Q_{30\%}$: 21500
  • Median: 28900
  • Standardabweichung: 18084.7

# x4

  • Mittelwert: 59603
  • IQA: 17175
  • $Q_{30\%}$: 52675
  • Median: 59900
  • Standardabweichung: 11709.4

# x5

  • Mittelwert: 51018.6
  • IQA: 42975.2
  • $Q_{30\%}$: 29900
  • Median: 47949.5
  • Standardabweichung: 27569.1

# x6

  • Mittelwert: 59023.7
  • IQA: 43977.5
  • $Q_{30\%}$: 38909
  • Median: 56400
  • Standardabweichung: 25544.2

Interpretation Boxplot

ggplot(bmwdat)+geom_boxplot(aes(x=energieeffizienz,y=preis))+labs(x=“Preis”)+facet_wrap(~model)

Anwendungen Boxplot

Löhne in der Stadt Zürich

  • Insb. Seiten 12 bis 14: Überrascht diese Verteilung?
  • Welche Grafiken / Methoden sind aus dem Freifach bekannt?
  • Gibt es irgeneine Graphik im Lohnreport, welche nicht klar ist?
  • Wie würde der Lohnreport der Stadt St. Gallen aussehen?

Ziele

  • Jede/r kann ein Histogramm erklären.
  • Jede/r kann Mittelwert, Modus, Median und beliebige Quantile von Hand und mit Excel/R ausrechnen (Lagemasse)
  • Jede/r kann Varianz, Standardabweichung, IQA ausrechnen von Hand und mit Excel/R (Skalenmasse)

Auftrag

  • Definitionen auf Unterlagen vom letzten Mal falls nötig nachlesen und mit Begriffen unten ergänzen.
  • Definitionen aus der heutigen durcharbeiten und nachvollziehen.
  • Berechne für die genannten Grössen für -2.9, 25.4, -12.3, -38.5, 4.2, 23.7, -0.4, 1.5, -23.3, 21. von Hand und mit Excel
  • Berechne für verschiedene BMW Modelle ein Histogram und notiere Mittelwert, Median, Standardabweichung und IQA darunter. Eine mögliche Vorgehensweise dabei wäre
    • Alle Preise in ein neues Tabellenblatt kopieren
    • Jeweils in den ersten Zeilen die Grössen für die darunterliegenden Werte ausrechnen und dann Formeln nach rechts ziehen.
  • Zusatzauftrag: Mit rnorm(n,m,s) können $n$ sogenanntne normalverteilte Zufallsvariablen simuliert werden. Simuliere einige Histogramme mit verschiedenen Mittelwerten m und Standardabweichungen s. Die Bilder der Histogramme sollen dann den Werten von m und s zugeordnet werden.

Lösung

Lösung

  • Mittelwert: -0.16
  • Modus: Nicht eindeutig.
  • Standardbweichung: 20.70
  • Varianz: 428.53
  • Median: 0.55
  • IQA: 33.3

Definitionen Lektion 04

Quantil

Ein Quantil gibt den dem Prozentrang zugehörigen Wert der Verteilung wieder. Der Median ist z.B. das 50% Quantil. Das 25%-Quantil z.B. ist der Wert, für welchen gilt, dass 25% der Werte kleiner und 75% der Werte grösser sind. Mathematisch kann man das wie folgt festhalten:

Möchte man das Quantil $\alpha=35\%=0.35$ von den $n=15$ Daten 10.6, 16.9, -27.3, 9.6, 18.1, -6.4, 34.4, 42.7, -3.6, 5, -3.2, 11.1, 46.1, 19.4, 2.4 berechnen, so muss man diese zuerst aufsteigend sortieren: -27.3, -6.4, -3.6, -3.2, 2.4, 5, 9.6, 10.6, 11.1, 16.9, 18.1, 19.4, 34.4, 42.7, 46.1. Die sortierten Werte werden mit $x_{(1)},x_{(2)},\ldots,x_{(n)}$ bezeichnet. Man sucht dann diesen Wert so, dass der gefundene Wert dem geforderten Prozentrang von $\alpha=0.35$ am nächsten kommt.

Genauer: Sei $K=\lfloor\alpha\cdot n\rfloor+1$ wobei $\lfloor\cdot\rfloor$ auf die nächste ganze Zahl abrundet. Für uns ist also $K=\lfloor0.35\cdot 15\rfloor+1=\lfloor5.25\rfloor+1=5+1=6$. Wir nehmen also den 6. Wert: Damit ist $Q_{0.35}=x_{(6)}=5$

Ist aber $\alpha\cdot n$ eine natürliche Zahl so, so nehmen wir wegen des Abrundens den mittleren der beiden Werte $x_{(K-1)}$ und $x_{(K)}$: Für $\alpha=0.3$ ist $K=3+1=4$ und damit $Q_{0.2}=\frac12((-3.6)+(-3.2))=-3.4$. $$Q_\alpha=\begin{cases}x_{(K)}\text{ wenn $\alpha\cdot n$ nicht ganzzahlig}\\\frac12\left(x_{(K)}+x_{(K-1)}\right)\text{ wenn $\alpha\cdot n$ ganzzahlig}\end{cases}$$

Quartile

Quartile sind die $25\%$, $50\%$ und $75\%$ Quantile einer Verteilung. Für das erste Quartil gilt also, dass $25\%$ der Beobachtungen kleiner sind, $75\%$ der Beobachtungen sind grösser.

Bei der Berechnung der Quantile kommen bei unterschiedlichen Softwarelösungen unterschiedliche Methoden zum Einsatz. Das heisst, u.U. stimmen die Quantile zweier unterschiedlichen Softwarelösungen nicht überein.

Interquartilsabstand (IQA)

Der Interquartilsabstand ist ein Mass für die Skala einer Verteilung. Wie weit sind das erste und dritte Quartil auseinander: $\text{IQA}=Q_{0.75}-Q_{0.25}$.

In Buch R-Reader:

  • Kapitel 2 insb. Kapitel 2.2.1 Dataframes lesen
  • Kapitel 7 insb. Kapitel 7.1

R-Code

R-Code

#Daten sind aus Excel in die Zwischenablage kopiert.
bmw <- read.table(file("clipboard"),sep="\t",header = T)
library(ggplot2)
library(plyr)
ggplot(bmw,aes(x=preis))+geom_histogram()+facet_wrap(~model)+xlab("Preis")+ylab("Anzahl")
names(bmw)
ddply(bmw,.(model),summarise,median(preis))
ddply(bmw,.(model),summarise,mean(preis))
ddply(bmw,.(model),summarise,sd(preis))
ddply(bmw,.(model,zylinder),summarise,mean(preis))
#oder
tapply(bmw$preis,bmw$model,median)
tapply(bmw$preis,bmw$model,mean)
tapply(bmw$preis,bmw$model,sd)
tapply(bmw$preis,bmw$model,var)
tapply((bmw$preis,bmw$model,quantile,probs=0.25)
tapply((bmw$preis,bmw$model,quantile,probs=0.75)
tapply((bmw$preis,bmw$model,quantile,probs=0.75)-tapply((bmw$preis,bmw$model,quantile,probs=0.25)
#gibt das gleiche wie 
tapply(bmw$preis,bmw$model,IQR)
mean(bmw$preis[bmw$model=="x1"])

Ziele

  • Unterlagen durcharbeiten.
  • Der Begriff des Zufalls ist intuitiv bekannt bei Experimenten (Würfeln) wie auch erhobenen Daten (Autopreise): In Alltagssprache Zufall beschreiben.
  • Jede/r kann ein Histogramm erstellen und interpretieren.
  • Jede/r kann mit Excel Zufallszahlen erzeugen.

Aufträge:

  • Eile-mit-Weile Auftrag ausführen
    • Zuerst manuell mit Strichliste und Würfeln
    • Nachher mit Excel simulieren. Hilfreiche Funktionen sind WENN(), ZUFALLSZAHL(), RUNDEN() resp. AUFRUNDEN(), SUMMEWENN() etc. Eine mögliche Lösung ist hier zu finden.
    • Nachher mit R Simulieren. Hiflreiche Fuktionen sind entweder sample oder runif ,ceiling. Histogramme gibt's mit hist
  • Histogramm mit Excel oder Geogebra erstellen:
    • Excel: Daten markieren, Einfügen → Alle Diagrammtypen → Histogramm
    • Geogebra: Ansicht → Tabelle → Daten einfügen mit CTRL+V einfügen → Analyse einer Variable
  • Histogramm der Fahrzeugpreise (z.B. alle X1) erstellen

Histogramm Eile mit Weile bei 1'000'000 Würfeln

R Code Simulation Eile-mit-Weile

  • sample(1:6,3,replace=T) wählt aus den Zahlen 1 bis 6 genau 3 aus
  • while(bedingung){ … } der Code in den Klammer wird ausgeführt, solange bedingung wahr ist. Die Schleife kann abgebrochen werden mit break.
  • Idee: Bedingung so wählen, dass weitergewürfelt wird, wenn eine gewürfelt worden ist $6$ ist.
  • replicate(n,…) wiederholt den Code … $n$ mal und hat die Rückgabewerte des aufgerufenen Codes als Liste resp. Vektor. z.B. replicate(10,sample(1:4,1))
eilemitweile.R
rollDie <- function() {
    isSix <- TRUE
    sum <- 0
    while (isSix) {
        thissample <- sample(6, 1)
        if (thissample + sum > 18) 
            break
        sum <- sum + thissample
        isSix <- thissample == 6
 
    }
    if (sum == 18) {
        sum <- 0
    }
    return(sum)
}
dice <- replicate(1e+06, rollDie())
hist(dice breaks = seq(-1, 17), main = "Histogramm Eile mit Weile", xlab = "Augenzahl", ylab = "Absolute Häufigkeit", col = "lightblue")

Ziele

  • Jede:r kann mit Pivot-Tabellen einfache Analysen durchführen

Aufträge

  • Schaut euch die Einführung Pivot-Tabellen unten an.
  • Analysiert mittels Pivot-Tabellen folgende Fragen:
    • Mittlerer Verkaufspreis aller weissen Autos berechnen
    • Anzahl grüne Autos berechnen
    • Welches Modell ist am teuersten?
    • Welche Farbe oder Energieeffizienz ist am günstigsten? Ist das für alle Modelle und Farben oder Energieeffizienz identisch?
  • Was ist der mittlere Preis aller Autos zwischen 0 und 20'000 Kilometern, 20'000 und 40'000 Kilometern?
    • Verwende wiederum Pivot-Tabellen
    • Erstelle zuerst eine Spalte in welcher du mit Runden (=RUNDEN(xxx;stellen)) und Multiplikation die gefahrenen Kilometer in Klassen unterteilst. Das heisst, dividiere die gefahrenen Kilometer durch $20'000$, runde dann die Zahl und multipliziere dann wieder mit $20'000$.
  • Führe die gleiche Analyse für alle Modelle durch. Für alle Farben. Gibt es Zusammenhänge?

Einführung Pivot

ddplystattpivot.R
library(plyr) #Zusatzpaket 'plyr' laden (vorgänig mit install.packages("plyr") installieren)
head(cardata) #Erste Zeilen anzeigen
?ddply #Hilfe zu ddply
ddply(cardata,.(model),summarise,preis=mean(preis)) #Mittelwert des Preises nach Modell anzeigen
ddply(cardata,.(model),summarise,preis=median(preis)) #Median des Preises nach Modell anzeigen
ddply(cardata,.(model,zylinder),summarise,preis=mean(preis)) #Mittelwert des Preises nach Modell und Anzahl Zylinder anzeigen

Ziele

Ziele der Lektion:

  • Einführung Freifach
  • Unterlagen kennenlernen
  • Geräte und Tools kennenlernen
  • Erste Berechnungen anstellen
  • R Dokumentation Seiten 1-11 lesen und Beispiel-Code durcharbeiten

Auftrag

  • Dossier erstellen:
    • Word-Datei, One-Note Datei, Papier, o.ä.
    • Formatierung anlegen
  • Spielen mit Daten:
    • Mittlerer Verkaufspreis (Durchschnitt) aller Autos berechnen
    • Mittlerer Verkaufspreis aller weissen Autos berechnen
    • Anzahl grüne Autos berechnen
    • Welches Modell ist am teuersten?
    • Welche Farbe oder Energieeffizienz ist am günstigsten? Ist das für alle Modelle und Farben oder Energieeffizienz identisch?
| intro.R
setwd("C:/Users/Simon.Knaus/Dropbox/git/ffstat") #Arbeitsverzeichnis bestimmen
cardata <- read.table("cardata.csv",sep=";",header=TRUE) #Daten einlesen als Dataframe
head(cardata) # Erste Zeilen (6) anzeigen
summary(cardata) # Zusammenfassung anzeigen
mean(cardata$preis) # Mittelwert des Preises anzeigen
unique(cardata$model) #Alle Modelle nur einzeln (einmalig) anzeigen
 
str(cardata) #Struktur des Dataframes anzeigen
cardata[2,1] #2 Zeile, erste Spalte
cardata[cardata$model=="x1", "preis"] #Model soll 'x1' sein, da die 'Preis'-Spalte
mean(cardata[2:4,2]) #Mittelwert der 2. bis 4. Zeile der 2. Spalte

Begriffe, die festzuhalten sind:

Begriff Kurzbeschrieb Excel R
Mittelwert Arithmetisches Mittel ($\mu$). Man schreibt auch $\bar x$. MITTELWERT() mean()
Anzahl Anzahl ANZAHL() length()
Merkmal Eigenschaften eines Datenpunkts (z.B. Türen, Farbe etc.)
Merkmalsausprägung - und typen Nominal (Farbe), Ordinal (Modell: X1 bis X6), Kardinal (z.B. Kilometer, Preis)
Datenblatt
Pivot-Tabelle
Filtern
Absolute und relative Häufigkeit von $x$ Die absolute Häufigkeit entsprichen dem insgesamten Vorkommen, die relative Häufigkeit ist das Vorkommen in Prozent, d.h., die absolute Anzahl dividiert durch die Gesamtanzahl ANZAHL() oder SUMMEWENN()
Histogramm Illustration von Daten. Die Säulenfläche ist proportional zur relativen Häufigkeit
Varianz Die mittlere quadratische Abweichung, i.e. $\sigma^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2$ VARIANZA() var()
Standardabweichung Wurzel der mittleren quadratischen Abweichung $\sigma=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}$ STABWA() sd()
Median Wert der mittig in der Verteilung aller sortierten Werte ist, resp. zum 50% Prozentrang gehöriger Wert MEDIAN() median()
$\alpha$-Quantil Zum Prozentrang $\alpha$ gehöriger Wert QUANTIL.INKL() quantile(,,type=2)
Modus Der häufigste (die häufigsten) Wert(e)MODUS.EINF()
IQA Interquartilsabstand. Differenz des 1. und 3. Quartils IQR()
BoxplotIllustration der Verteilung mit Quartilen boxplot()
Outlier Ausreisser. Eine mögliche Definition für Outlier, sind Werte, die ausserhalb der Whiskers beim Boxplot sind
Lorenzkurve Mass zur Konzentration einer Verteilung. Es wir dabei die relative kumulierte Anzahl gegen die relative kumulierte Summe des Merkmals gezeichnet
Gini-Koeffizient Mass der Konzentration einer Verteilung welches die Fläche misst, welche die Lorenzkurve mit der Winkelhalbierenden einschliesst
Korrelation Mass für einen linearen Zusammenhang zwischen $-1$ und $1$ KORREL()cor()
Scatterplot Graphische Darstellung zweier Merkmale als $x$ und $y$-Koordinate Einfügen $xy$…plot(x,y)
BestimmtheismassQuadrat der Korrelation, zur Messung der Stärke eines Zusammenhangs
Erklärende Variable Variable (z.B. Kilometer) welche die abhängige Variable (z.B. Preis) in einer Regression erklären soll
Regression Bestimmung einer linearen Funktion, welche den Zusammenhang zwischen erklärender und abhängier Variable herstelltDaten → Analyselm(…)
Koeffizienten Abschnitt und Steigung der linearen Funktion einer Regression
Dummy-Variable Variable mit den Ausprägungen $0$ und $1$ um eine nominale Variable in einer Regression zu verwenden
Normalverteilung Auch Gaussverteilung. Häufige Verteilung von Merkmalen. Das Histogamm gleich dabei einer Glockenkurve
Standardisieren Zentrierung und Streckung eines Merkmals zu $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$. Es ist dann $\mu_Z=0$ und $\sigma_Z=1$scale(…)
Z-Score Siehe Standardisieren

  • lehrkraefte/ks/ffstat2122/start.txt
  • Last modified: 2022/06/24 17:10
  • by Simon Knaus