Schreiben Sie das entsprechende Potenzgesetze auf und beweisen Sie es für natürliche Zahlen:

Vereinfachen Sie:

1. $$\left(x^{\frac{6}{5}}: x^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{40}{33}}$$
2. $$\left(x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{2}{5}}\right)^{-\frac{3}{8}}$$
3. $$\left(x^{\frac{5}{2}}: x^{\frac{7}{5}}\right)^{-\frac{4}{11}}$$

Berechnen Sie von Hand und schreiben Sie in Normalform:

1. $\left(\frac{2}{3} + \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2$
2. $\left(\frac{3}{5} + \sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2$
3. $\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{5}{3}}\right)^2$

Vereinfachen Sie soweit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis ohne negative Exponenten.

1. $\left(\frac{2a^{-2}c^4}{b^4} \right)^{-3}:\left(\frac{2a^{-3}}{b^2c^{-5}} \right)^{-4}$
2. $\left(\frac{3d^{-2}u^4}{4dv^{-2}}\right)^2 : \left( \frac{2u^{-4}d^2}{3v^{-2}} \right)^{-3}$
3. $\left(\frac{6^3}{xy^2z^{-1}}\right)^2:\left(\frac{x^4y^{-7}z^2}{\left(9x^{-2}y \right)^{-3}} \right)$

Ausquadrieren:

1. $\qquad \left(a + \frac{1}{a}\right)^2$
2. $\qquad \left(\sqrt{a} + a\right)^2$
3. $\qquad \left(\sqrt{a} + \frac{1}{2}\cdot b\right)^2$

Berechnen Sie:

1. $\left(\frac{4}{3}+2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$
2. $\left(-\frac{5}{3}-2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$
3. $\left(-\frac{7}{4}-\frac{3}{2}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$

Vereinfachen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich:

1. $$\frac{\sqrt{x^2}\cdot x^{\frac{-1}{3}}}{x^{-2}\cdot x^{0.5}}$$
2. $$\frac{\sqrt{x^3}\cdot x^{\frac{-1}{4}}}{x^{-3}\cdot x^{0.5}}$$
3. $$\frac{\sqrt{x^5}\cdot x^{\frac{-1}{3}}}{x^{-4}\cdot x^{0.25}}$$

Vereinfachen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich und schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten.

1. $$\sqrt[4]{\frac{\sqrt[9]{x}}{x^2}}$$
2. $$\sqrt[5]{\frac{\sqrt[4]{x}}{x^3}}$$
3. $$\sqrt[7]{\frac{\sqrt[5]{x}}{x^5}}$$

Bringe folgende Ausdrücke in Normalform

1. $$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$$
2. $$\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}$$
3. $$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{11}}$$

Löse die folgenden Gleichungen

1. $$\sqrt{x+1}=2-\sqrt{x+2}$$
2. $$\sqrt{x-1}=2-\sqrt{x+2}$$
3. $$\sqrt{x+3}=2-\sqrt{x+1}$$