lehrkraefte:ks:miniex:ex02 [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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<JS>
function generate(jQuery, idex, idsol, ex, sep="<br>", sep2="<br>", numex=3) {
    var randperm=function(n) {
	var a = [];
	for (var i=0; i<n; i++) { a[i]=i; }
	for (var i=0; i<n; i++) {
	    var j = Math.floor(Math.random()*(n-i))+i;
	    if (j>i) {
		var h = a[j];
		a[j] = a[i];
		a[i] = h;
	    }
	}
	return a
    }
    var selec=randperm(ex.length);
    if (numex<1){
	numex = ex.length;
    }
    for (var i=0; i<numex; i++) {
       jQuery(idex).append((i+1)+". &nbsp; "+ex[selec[i]][0]+sep);
       jQuery(idsol).append((i+1)+". &nbsp; "+ex[selec[i]][1]+sep2);
    }
}
</JS>


==== 2. Miniprüfung ====
=== Aufgabe 1 ===
Schreiben Sie das entsprechende Potenzgesetze auf und beweisen Sie es für natürliche Zahlen:<JS>jQuery(function() {generate(jQuery, "#exopotenzgesetzebeweisen","#solpotenzgesetzebeweisen",
[["$a^n \\cdot a^m$", "$a^n\\cdot a^m = a^{n+m}$. \n     <b>Beweis</b>: $a^n \\cdot a^m = \n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ Faktoren}} \\cdot\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{m \\text{ Faktoren}} =\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n+m \\text{ Faktoren}} =a^{n+m}$"], ["$(a \\cdot b)^n$", "$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$. <b>Beweis</b>: $(a \\cdot b)^n = \n    \\underbrace{(a \\cdot b) \\cdot (a \\cdot b) \\cdot \\ldots \\cdot (a \\cdot b)}_{n \\text{ Klammern}} =\n    \\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ Faktoren}} \\cdot\n    \\underbrace{b\\cdot b \\cdot \\ldots \\cdot b}_{n \\text{ Faktoren}} = a^n \\cdot b^n$."], ["$\\left(a^n\\right)^m$", "$\\left(a^n\\right)^m = a^{n \\cdot m}$.\n    <b>Beweis</b>: $\\left(a^n\\right)^m = \n    \\underbrace{a^n\\cdot a^n \\cdot \\ldots \\cdot a^n}_{m \\text{ Potenzen}} =\n    \\underbrace{\\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right)\\cdot \\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right) \\cdot \\ldots \\cdot \\left(\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{\\text{$n$ Faktoren}}\\right)}_{m \\text{ Klammern}} =\n    a^{n \\cdot m}$."], ["$\\frac{a^n}{a^m}$ für $n \\geq m$", "$\\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$. <b>Beweis</b>\n    $\\frac{a^n}{a^m} = \\frac{ \\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n \\text{ Faktoren}}}{\\underbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{m \\text{ Faktoren}}} \\stackrel{m \\text{ Faktoren kürzen}}{=} \\frac{\\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n-m \\text{ Faktoren}}}{1} = a^{n-m}$."], ["$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n$", "$\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\frac{a^n}{b^n}$. <b>Beweis</b>:\n    $\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\underbrace{\\frac{a}{b}\\cdot \\frac{a}{b} \\cdot \\ldots \\cdot \\frac{a}{b}}_{n \\text{ Brüche}} =\n    \\frac{\\overbrace{a\\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}^{n \\text{ Faktoren}}}{\\underbrace{b\\cdot b \\cdot \\ldots \\cdot b}_{n \\text{ Faktoren}}} =\n    \\frac{a^n}{b^n}$."]],
" <br><hr> ", "<br><hr>", 3);});
</JS>
<HTML>
<div id="exopotenzgesetzebeweisen"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
<HTML>
<div id="solpotenzgesetzebeweisen"></div>
</HTML>
</hidden>
=== Aufgabe 2 ===
Vereinfachen Sie:
  - $$\left(x^{\frac{6}{5}}: x^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{40}{33}}$$
  - $$\left(x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{2}{5}}\right)^{-\frac{3}{8}}$$
  - $$\left(x^{\frac{5}{2}}: x^{\frac{7}{5}}\right)^{-\frac{4}{11}}$$

<hidden Lösungen>
  - $$x^{-\frac{2}{3}}$$
  - $$x^{-\frac{2}{5}}$$
  - $$x^{-\frac{2}{5}}$$
</hidden>
=== Aufgabe 3 ===
Berechnen Sie von Hand und schreiben Sie in Normalform:
  - $\left(\frac{2}{3} + \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2$
  - $\left(\frac{3}{5} + \sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2$
  - $\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{5}{3}}\right)^2$

<hidden Lösungen>
  - $\frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{2}{3} = \frac{10}{9} + \frac{4}{9}\sqrt{6}$
  - $\frac{9}{25} + 2 \cdot \frac{3}{5}\sqrt{\frac{3}{5}} + \frac{3}{5} = \frac{24}{25} + \frac{6}{25}\sqrt{15}$
  - $\frac{25}{9} + 2 \cdot \frac{5}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} + \frac{5}{3} = \frac{40}{9} + \frac{10}{9}\sqrt{15}$
</hidden>

=== Aufgabe 4 ===
Vereinfachen Sie soweit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis ohne negative Exponenten.

  - $\left(\frac{2a^{-2}c^4}{b^4} \right)^{-3}:\left(\frac{2a^{-3}}{b^2c^{-5}} \right)^{-4}$
  - $\left(\frac{3d^{-2}u^4}{4dv^{-2}}\right)^2 : \left( \frac{2u^{-4}d^2}{3v^{-2}} \right)^{-3}$
  - $\left(\frac{6^3}{xy^2z^{-1}}\right)^2:\left(\frac{x^4y^{-7}z^2}{\left(9x^{-2}y \right)^{-3}} \right)$
<hidden Lösungen>
  - $\frac{2b^4c^8}{a^6}$
  - $\frac{v^{10}}{6u^4} $
  - $64$
oder etwas ausführlicher {{ :lehrkraefte:blc:miniaufgaben-potenzrechnung.pdf |}}
</hidden>
=== Auftrag 5 ===
Ausquadrieren:

  - $\qquad \left(a + \frac{1}{a}\right)^2$
  - $\qquad \left(\sqrt{a} + a\right)^2$
  - $\qquad \left(\sqrt{a} + \frac{1}{2}\cdot b\right)^2$

<hidden Lösungen>
  - $\qquad a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$
  - $\qquad a + 2a\sqrt{a} + a^2$
  - $\qquad a+b\cdot \sqrt{a} + \frac{1}{4}b^2$
</hidden>

=== Aufgabe 6 ===
Berechnen Sie: 
  - $\left(\frac{4}{3}+2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$
  - $\left(-\frac{5}{3}-2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$
  - $\left(-\frac{7}{4}-\frac{3}{2}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$
  
<hidden Lösungen>
  - $ \frac{6}{5}$
  - $ -\frac{6}{11}$
  - $ -\frac{5}{13}$
</hidden>

=== Aufgabe 7 ===
Vereinfachen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich:
  - $$\frac{\sqrt{x^2}\cdot x^{\frac{-1}{3}}}{x^{-2}\cdot x^{0.5}}$$
  - $$\frac{\sqrt{x^3}\cdot x^{\frac{-1}{4}}}{x^{-3}\cdot x^{0.5}}$$
  - $$\frac{\sqrt{x^5}\cdot x^{\frac{-1}{3}}}{x^{-4}\cdot x^{0.25}}$$
<hidden Lösungen>
Alle Wurzeln in Potenzen verwandeln und Potenzgesetze anwenden
  - $x^{\frac{13}{6}}$
  - $x^{\frac{15}{4}}$
  - $x^{\frac{71}{12}}$
</hidden>

=== Aufgabe 8 ===
Vereinfachen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich und schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten.
  - $$\sqrt[4]{\frac{\sqrt[9]{x}}{x^2}}$$
  - $$\sqrt[5]{\frac{\sqrt[4]{x}}{x^3}}$$
  - $$\sqrt[7]{\frac{\sqrt[5]{x}}{x^5}}$$
<hidden Lösungen>
Alle Wurzeln in Potenzen verwandeln und Potenzgesetze anwenden
  - $x^{-\frac{17}{36}}$
  - $x^{-\frac{11}{20}}$
  - $x^{-\frac{24}{35}}$
</hidden>

=== Aufgabe 9 ===
Bringe folgende Ausdrücke in Normalform
  - $$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}$$
  - $$\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}$$
  - $$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{11}}$$

<hidden Lösungen>
  - $\sqrt{2}+\frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{5}\sqrt{5}$
  - $\sqrt{3}+\frac{1}{5}\sqrt{5}+\frac{1}{7}\sqrt{7}$
  - $\sqrt{2}+\frac{1}{7}\sqrt{7}+\frac{1}{11}\sqrt{11}$
</hidden>

=== Aufgabe 10 ===
Löse die folgenden Gleichungen
  - $$\sqrt{x+1}=2-\sqrt{x+2}$$
  - $$\sqrt{x-1}=2-\sqrt{x+2}$$
  - $$\sqrt{x+3}=2-\sqrt{x+1}$$

<hidden Lösungen>
Das Prinzip der Lösung ist immer gleich. Am Beispiel der ersten Gleichung: Beidseitig quadrieren ergibt $x+1=(2-\sqrt{x+2})^2$. Den Term auf der rechten Seite ausmultiplizieren ergibt $x+1=(4-4\sqrt{x+2}+x+2)$. Anschliessend Wurzelterm auf eine Seite bringen ergibt $\sqrt{x+2}=-\frac{5}{4}$. Beidseitges quadrieren und subtrahieren von $2$ ergibt: $x=-\frac{7}{16}$. Wir verzichten auf die Probe (bei allen).
  - $x=-\frac{7}{16}$
  - $x=\frac{17}{16}$
  - $x=-\frac{3}{4}$
</hidden>