lehrkraefte:ks:miniex:ex04 [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

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<PRELOAD>
lib/function-plot/d3.min.js
lib/function-plot/function-plot.js
</PRELOAD>
<JS>
function generate(jQuery, idex, idsol, ex, sep="<br>") {
    var drei=function(n) {
      var one = Math.floor(Math.random()*(n-2));  
      var two = Math.floor(Math.random()*(n-2));
      if (one>two) {
          var h = one;
          one = two;
          two = h;
      }
      var three = Math.floor(Math.random()*(n-2));
      if (two>=one) {
          two++;
      }
      if (three>=one) {
          three++;
      }
      if (three>=two) {
          three++;
      }
      return [one,two,three];
    };
    
    var selec=drei(ex.length);
    //console.log(selec);
    
    for (var i=0; i<3; i++) {
       //console.log(selec[i]);
       jQuery(idex).append((i+1)+". &nbsp; "+ex[selec[i]][0]+sep);
       jQuery(idsol).append((i+1)+". &nbsp; "+ex[selec[i]][1]+"<br>");
    }
    
}
</JS>

=== Aufgabe 1 ===
Mit Hilfe einer Handskizze schätzen Sie folgende Werte auf 1 Stelle genau ab. 
  - $\sin(290^\circ)$, $\cos(290^\circ)$ und $\tan(290^\circ)$
  - $\sin(160^\circ)$, $\cos(160^\circ)$ und $\tan(160^\circ)$
  - $\sin(-110^\circ)$, $\cos(-110^\circ)$ und $\tan(-110^\circ)$

<hidden Lösungen>
  - $-0.9397$, $0.3420$, $-2.748$
  - $0.3420$, $-0.9397$, $-0.3640$
  - $-0.9397$, $-0.3420$, $2.748$
</hidden>

=== Aufgabe 2 ===
Mit Hilfe einer Handskizze beweisen Sie, dass für beliebige Winkel $\alpha$ gilt:
  - $(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=1$
  - $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ ausser für $\alpha=90^\circ + k\cdot 180^\circ$ mit $k \in \mathbb{Z}$
  - $\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)$
  - $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

<hidden Lösungshinweis>
Skizze mit Einheitskreis und Punkt $P_\alpha$. Zusätzlich

1. & 2.: Stützdreieck mit Katheten $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ beschriften. Gewünschtes ablesen und kurz kommentieren.
3. & 4.: $P_{-\alpha}$ einzeichnen. Mit Spiegelung (woran?) und Koordinaten argumentieren.
</hidden>

=== Aufgabe 3 ===
Zerlegen Sie in Primfaktoren:
  - 240
  - 540
  - 980

<hidden Lösungen>
Vorgehen: sukzessive Faktoren ausdividieren, oder in einfachere Produkte zerlegen und diese Faktorisieren.
  - $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$ (z.B. ist $240 = 10\cdot 3 \cdot 8 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2^3$).
  - $540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$ (z.B. ist $540 = 10 \cdot 2 \cdot 27$, also $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3^3$).
  - $980 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7^2$ (z.B. ist $980 = 20\cdot 49$).
</hidden>

=== Aufgabe 4 ===

Machen Sie eine Skizze des Einheitskreises mit dem entsprechenden Winkel $\alpha$ und dem entsprechenden speziellen rechtwinkligen Dreieck, mit dem Sie die Werte von $\sin(\alpha)$, $\cos(\alpha)$ und $\tan(\alpha)$ berechnen:


<JS>jQuery(function() {generate(jQuery, "#exotrigo","#soltrigo",
[["$\\alpha = -330^\\circ$", "$\\sin(-330^\\circ) = \\frac{1}{2}$, $\\cos(-330^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\tan(-330^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha = -300^\\circ$", "$\\sin(-300^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\cos(-300^\\circ) = \\frac{1}{2}$, $\\tan(-300^\\circ) = \\sqrt{3}$"], ["$\\alpha = -240^\\circ$", "$\\sin(-240^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\cos(-240^\\circ) = -\\frac{1}{2}$, $\\tan(-240^\\circ) = -\\sqrt{3}$"], ["$\\alpha = -210^\\circ$", "$\\sin(-210^\\circ) = \\frac{1}{2}$, $\\cos(-210^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\tan(-210^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha = -150^\\circ$", "$\\sin(-150^\\circ) = -\\frac{1}{2}$, $\\cos(-150^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\tan(-150^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha = -120^\\circ$", "$\\sin(-120^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\cos(-120^\\circ) = -\\frac{1}{2}$, $\\tan(-120^\\circ) = \\sqrt{3}$"], ["$\\alpha = -60^\\circ$", "$\\sin(-60^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\cos(-60^\\circ) = \\frac{1}{2}$, $\\tan(-60^\\circ) = -\\sqrt{3}$"], ["$\\alpha = -30^\\circ$", "$\\sin(-30^\\circ) = -\\frac{1}{2}$, $\\cos(-30^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\tan(-30^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha = 30^\\circ$", "$\\sin(30^\\circ) = \\frac{1}{2}$, $\\cos(30^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\tan(30^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha = 60^\\circ$", "$\\sin(60^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\cos(60^\\circ) = \\frac{1}{2}$, $\\tan(60^\\circ) = \\sqrt{3}$"], ["$\\alpha = 120^\\circ$", "$\\sin(120^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\cos(120^\\circ) = -\\frac{1}{2}$, $\\tan(120^\\circ) = -\\sqrt{3}$"], ["$\\alpha = 150^\\circ$", "$\\sin(150^\\circ) = \\frac{1}{2}$, $\\cos(150^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\tan(150^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha = 210^\\circ$", "$\\sin(210^\\circ) = -\\frac{1}{2}$, $\\cos(210^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\tan(210^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha = 240^\\circ$", "$\\sin(240^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\cos(240^\\circ) = -\\frac{1}{2}$, $\\tan(240^\\circ) = \\sqrt{3}$"], ["$\\alpha = 300^\\circ$", "$\\sin(300^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\cos(300^\\circ) = \\frac{1}{2}$, $\\tan(300^\\circ) = -\\sqrt{3}$"], ["$\\alpha = 330^\\circ$", "$\\sin(330^\\circ) = -\\frac{1}{2}$, $\\cos(330^\\circ) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\tan(330^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{3}}{3}$"], ["$\\alpha = -315^\\circ$", "$\\sin(-315^\\circ) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos(-315^\\circ) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\tan(-315^\\circ) = 1$"], ["$\\alpha = -225^\\circ$", "$\\sin(-225^\\circ) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos(-225^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\tan(-225^\\circ) = -1$"], ["$\\alpha = -135^\\circ$", "$\\sin(-135^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos(-135^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\tan(-135^\\circ) = 1$"], ["$\\alpha = -45^\\circ$", "$\\sin(-45^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos(-45^\\circ) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\tan(-45^\\circ) = -1$"], ["$\\alpha = 45^\\circ$", "$\\sin(45^\\circ) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos(45^\\circ) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\tan(45^\\circ) = 1$"], ["$\\alpha = 135^\\circ$", "$\\sin(135^\\circ) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos(135^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\tan(135^\\circ) = -1$"], ["$\\alpha = 225^\\circ$", "$\\sin(225^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos(225^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\tan(225^\\circ) = 1$"], ["$\\alpha = 315^\\circ$", "$\\sin(315^\\circ) = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos(315^\\circ) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\tan(315^\\circ) = -1$"]]
);});
</JS>
<HTML>
<div id="exotrigo"></div>

</HTML>
<hidden Lösungen>
<HTML>
<div id="soltrigo"></div>
</HTML>
</hidden>

=== Aufgabe 5 ===
Mit Hilfe einer exakten Skizze am Einheitskreis sind die folgenden Werte durch Messen zu bestimmen.
  - $\arctan(-0.5)$
  - $\arcsin(-0.75)$
  - $\arccos(-0.25)$

<hidden Lösungshinweis>
Vorgehen wie oben.
  - $\arctan(-0.5)\approx -26.6^\circ$
  - $\arcsin(-0.75)\approx -48.6^\circ$
  - $\arccos(-0.25)\approx 104.5^\circ$
</hidden>

=== Aufgabe 6 ===
Berechne im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ die fehlenden Seiten und Winkel auf vier signifikante Stellen.
  - $a=4$ und $b=8$
  - $a=3$ und $b=7$
  - $a=10$ und $b=3$

<hidden Lösungshinweis>
Es gilt immer, dass $\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\beta=90-\alpha$ und $\arctan\left(\frac{a}{b}\right)=\alpha$ und $a^2+b^2=c^2$, damit ist:
  - $c\approx 8.944$, $\alpha\approx 26.57^\circ$ und $\beta\approx 63.43^\circ$
  - $c\approx 7.616$, $\alpha\approx 23.20^\circ$ und $\beta\approx 66.80^\circ$ 
  - $c\approx 10.44$, $\alpha\approx 73.30^\circ$ und $\beta\approx 16.70^\circ$
</hidden>
=== Aufgabe 7 ===
Berechne die fehlenden Winkel und Seiten im allgemeinen Dreieck
  - $a=3$, $b=2$ und $c=4$
  - $a=4$, $b=2$ und $\alpha=30^\circ$
  - $\alpha=30^\circ$, $\beta=20^\circ$, $c=5.1$
<hidden Lösungen>
Die {{lehrkraefte:ks:miniex:tinspireberfunktionen.pdf|programmierten Winkelfunktionen}} dürfen verwendet werden.

  - SSS $\to$ $\alpha\approx 46.57^\circ$, $\beta\approx 28.96^\circ$, $\gamma\approx 104.48^\circ$.
  - SSW $\to$ $\beta\approx 14.48^\circ$, $\gamma\approx 135.52^\circ$ und $c\approx 5.61$.
  - WSW $\to$ $a\approx 3.3$, $b\approx 2.28$ und $\gamma=130^\circ$.

=== Aufgabe 8 ===

Bestimme die Funktionsgleichung von
  - <HTML><span id="sine1" class="graph"></div></HTML>
  - <HTML><span id="sine2" class="graph"></div></HTML>
  - <HTML><span id="sine3" class="graph"></div></HTML>

<hidden Lösungen>
Die {{lehrkraefte:ks:miniex:tinspireberfunktionen.pdf|programmierten Winkelfunktionen}} dürfen verwendet werden.
  - Periode $T=\frac{1}{2}$ daher $f=2$, Amplitude $\hat y=1$ ist und Phase $\phi_0=0$, daher $y=\sin(\frac12\cdot t\cdot 360^\circ)$
  - Periode $T=1$ daher $f=1$, Amplitude $\hat y=3$ ist  und Phase $\phi_0=90^\circ$, daher $y=3\sin(t\cdot 360^\circ+90^\circ)$
  - Periode $T=3$ daher $f=\frac13$, Amplitude $\hat y=1$ ist und Phase $\phi_0=180^\circ$, daher $y=3\sin(\frac13\cdot t\cdot 360^\circ+180^\circ)$
</hidden>

<JS>
functionPlot({
      title: "Aufgabe 1",
      target: "#sine1",
      width: 250,
      height: 250,
      disableZoom: true,
      skipTip: true,
      grid: true,
      xAxis:{domain:[-1,2]},
      yAxis:{domain:[-4,4]},
      data:[{fn: "sin(2*(x*360/180*3.1412))"}]
    });
    
    functionPlot({
      title: "Aufgabe 2",
      target: "#sine2",
      width: 250,
      height: 250,
      disableZoom: true,
      skipTip: true,
      grid: true,
      xAxis:{domain:[-1,2]},
      yAxis:{domain:[-4,4]},
      data:[{fn: "3*sin(((x*360+90)/180*"+Math.PI+"))"}]
    });
    
functionPlot({
      title: "Aufgabe 3",
      target: "#sine3",
      width: 250,
      height: 250,
      disableZoom: true,
      skipTip: true,
      grid: true,
      xAxis:{domain:[-1,2]},
      yAxis:{domain:[-4,4]},
      data:[{fn: "sin(((x*360/3+180)/180*"+Math.PI+"))"}]
    });
   </JS>