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--- lehrkraefte:ks:wochenaufgaben [2017/01/13 14:25]
Simon Knaus [9. bis 13. Januar]
+++ lehrkraefte:ks:wochenaufgaben [2017/03/29 10:52] (current)
Simon Knaus
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+  - [[lehrkraefte:ks:nS|4nS]]
+  - [[lehrkraefte:ks:abde|5abde]]
 ===== Miniaufgaben =====
 Auf jede Lektion (ausser Prüfungslektionen) ist eine Miniaufgabe zu lösen. Es gibt jeweils mehrere sehr ähnliche Aufgaben. Davon kann am Anfang der Lektion jeweils eine in Form eines Kurztests geprüft werden. Ob und welche Aufgabe geprüft wird, entscheidet ein Würfel.
-==== 9.  bis 13. Januar ====
-=== 1. Wochenlektion  ===
-Lösen Sie folgende Gleichungen nach $x$ auf:
-  - $$(x-2)^2 = (x+4)(x-4)$$
+==== 13. Februar bis 18. Februar 2017 ====
-  - $$(x-4)^2 = (x+8)(x-8)$$
+=== 1. Wochenlektion ===
-  - $$(x-3)^2 = (x+9)(x-9)$$
+Mit Hilfe einer Handskizze schätzen Sie folgende Werte auf 1 Stelle genau ab. (**Achtung**: die Winkel werden ebenfalls gewürfelt werden (wohl andere als hier)! Verwendung eines Geodreiecks ist erlaubt).
+  - $\sin(290^\circ)$, $\cos(290^\circ)$ und $\tan(290^\circ)$
+  - $\sin(160^\circ)$, $\cos(160^\circ)$ und $\tan(160^\circ)$
+  - $\sin(-110^\circ)$, $\cos(-110^\circ)$ und $\tan(-110^\circ)$
 <hidden Lösungen>
-Erst ausmultiplizieren, bzw. ausquadrieren, am einfachsten mit Hilfe der binomischen Formeln $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ und $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Auf beiden Seiten $x^2$ subtrahieren, lineare Gleichung auflösen.
+  - $-0.9397$, $0.3420$, $-2.748$
-  - $x=5$
+  - $0.3420$, $-0.9397$, $-0.3640$
-  - $x=10$
+  - $-0.9397$, $-0.3420$, $2.748$
-  - $x=15$
 </hidden>
 === 2. Wochenlektion ===
-Lösen Sie folgende Gleichungen nach $x$ auf:
+Mit Hilfe einer Handskizze beweisen Sie, dass für beliebige Winkel $\alpha$ gilt:
+  - $(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=1$
+  - $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ ausser für $\alpha=90^\circ + k\cdot 180^\circ$ mit $k \in \mathbb{Z}$
+  - $\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)$
+  - $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$
-  - $$x^{\frac{3}{2}} - 9 = 15-2\cdot x^{\frac{3}{2}}$$
+<hidden Lösungshinweis>
-  - $$2x^{\frac{4}{3}} - 24 = 40-2x^{\frac{4}{3}}$$
+Skizze mit Einheitskreis und Punkt $P_\alpha$. Zusätzlich
-  - $$x^{\frac{3}{2}} - 21 = 60-2\cdot x^{\frac{3}{2}}$$
+. & 2.: Stützdreieck mit Katheten $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ beschriften. Gewünschtes ablesen und kurz kommentieren.
+. & 4.: $P_{-\alpha}$ einzeichnen. Mit Spiegelung (woran?) und Koordinaten argumentieren.
+</hidden>
+=== 3. Wochenlektion ===
+Zerlegen Sie in Primfaktoren:
+  - 240
+  - 540
+  - 980
 <hidden Lösungen>
-.
+Vorgehen: sukzessive Faktoren ausdividieren, oder in einfachere Produkte zerlegen und diese Faktorisieren.
-$\qquad \qquad \begin{align*} x^{\frac{3}{2}} - 9 & = 15-2\cdot x^{\frac{3}{2}} && |+2\cdot x^{\frac{3}{2}}\\ 3x^\frac{3}{2} - 9 & = 15 && |+9\\ 3x^\frac{3}{2}  & = 24 && |:3\\ x^\frac{3}{2}  & = 8 && |(\cdot)^{\frac{2}{3}}\\ x & = 8^{\frac{2}{3}} = \left(2^3\right)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \end{align*}$
+  - $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$ (z.B. ist $240 = 10\cdot 3 \cdot 8 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2^3$).
+  - $540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$ (z.B. ist $540 = 10 \cdot 2 \cdot 27$, also $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3^3$).
+  - $980 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7^2$ (z.B. ist $980 = 20\cdot 49$).
+</hidden>
-.
+==== 27. Februar bis 3. März 2017 ====
-$\qquad \qquad \begin{align*} 2x^{\frac{4}{3}} - 24 & = 40-2x^{\frac{4}{3}} && |+2\cdot x^{\frac{4}{3}}\\ x^{\frac{4}{3}} - 24 & = 40 && |+24\\ 4x^{\frac{4}{3}} & = 64 && |:4\\ x^{\frac{4}{3}} & = 16 && |(\cdot)^{\frac{3}{4}}\\ x & = 16^{\frac{3}{4}} = \left(2^4\right)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \end{align*}$
+=== 1. Wochenlektion ===
+Keine Miniaufgaben: Kurztest.
-.
+=== 2. Wochenlektion ===
-$\qquad \qquad \begin{align*}x^{\frac{3}{2}} - 21 & = 60-2\cdot x^{\frac{3}{2}} && |+2\cdot x^{\frac{3}{2}}\\3x^\frac{3}{2} - 21 & = 60 && |+21\\3x^\frac{3}{2}  & = 81 && |:3\\x^\frac{3}{2}  & = 27 && |(\cdot)^{\frac{2}{3}}\\x & = 27^{\frac{2}{3}} = \left(3^3\right)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\end{align*}$
+Mit Hilfe einer exakten Skizze am Einheitskreis sind die folgenden Werte durch Messen zu bestimmen.
+  - $\arctan(0.5)$
+  - $\arcsin(-0.25)$
+  - $\arccos(0.25)$
+<hidden Lösungshinweis>
+Für alle drei ein Einheitskreis (Radius: 8cm) zeichnen. Dann
+  - Gerade mit Steigung 0.5 und Winkel messen. Der positive Winkel (Quadrant IV und I) ist dann ca. $26.6^\circ$.
+  - Horizontale Gerade auf Höhe $y=-0.25$. $g_\alpha$ ist nun Definiert durch $O$ und den Schnittpunkt im Quadranten IV und I. Dies ergibt einen Winkel von ca. $-14.5^\circ$.
+  - Vertikale Gerade bei $x=0.25$ einzeichnen. $g_\alpha$ ist nun Definiert durch $O$ und den Schnittpunkt im Quadranten I und II. Dies ergibt einen Winkel (messen) von ca. $75.5^\circ$.
 </hidden>
 === 3. Wochenlektion ===
-Berechnen Sie:
+Berechne die Terme und gib das Resultat als Bruch an, dessen Zähler und Nenner vollständig in Primfaktoren faktorisiert sind.
-  - $\left(\frac{4}{3}+2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$
+  - $$\frac{\frac{189}{18} \cdot \frac{48}{56}}{\frac{14}{112} : \frac{175}{63}}$$
-  - $\left(-\frac{5}{3}-2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$
+  - $$\frac{\frac{14}{45} \cdot \frac{10}{224}}{\frac{56}{175} : \frac{28}{160}}$$
-  - $\left(-\frac{7}{4}-\frac{3}{2}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$
+  - $$\frac{\frac{135}{224} \cdot \frac{21}{144}}{\frac{75}{160} : \frac{189}{675}}$$
 <hidden Lösungen>
-  - $ \frac{6}{5}$
+Hinweis: Erst wo möglich kürzen, in Primfaktoren zerlgen, weiterkürzen, Doppelbrüche auflösen, weiter kürzen. Auf keinen Fall irgendwelche Multiplikationen ausrechnen!
-  - $ -\frac{6}{11}$
+  - $$\frac{\frac{3^{3} \cdot 7}{2 \cdot 3^{2}} \cdot \frac{2^{4} \cdot 3}{2^{3} \cdot 7}}{\frac{2 \cdot 7}{2^{4} \cdot 7} : \frac{5^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 7}} = \frac{\frac{3 \cdot 7}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{7}}{\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{3^{2}}{5^{2}}} = \frac{3^{2}}{\frac{3^{2}}{2^{3} \cdot 5^{2}}} = 3^{2} \cdot \frac{2^{3} \cdot 5^{2}}{3^{2}} = 2^{3} \cdot 5^{2}$$
-  - $ -\frac{5}{13}$
+  - $$\frac{\frac{2 \cdot 7}{3^{2} \cdot 5} \cdot \frac{2 \cdot 5}{2^{5} \cdot 7}}{\frac{2^{3} \cdot 7}{5^{2} \cdot 7} : \frac{2^{2} \cdot 7}{2^{5} \cdot 5}} = \frac{\frac{2 \cdot 7}{3^{2} \cdot 5} \cdot \frac{5}{2^{4} \cdot 7}}{\frac{2^{3}}{5^{2}} \cdot \frac{2^{3} \cdot 5}{7}} = \frac{\frac{1}{2^{3} \cdot 3^{2}}}{\frac{2^{6}}{5 \cdot 7}} = \frac{1}{2^{3} \cdot 3^{2}} \cdot \frac{5 \cdot 7}{2^{6}} = \frac{5 \cdot 7}{2^{9} \cdot 3^{2}}$$
-</hidden>
+  - $$\frac{\frac{3^{3} \cdot 5}{2^{5} \cdot 7} \cdot \frac{3 \cdot 7}{2^{4} \cdot 3^{2}}}{\frac{3 \cdot 5^{2}}{2^{5} \cdot 5} : \frac{3^{3} \cdot 7}{3^{3} \cdot 5^{2}}} = \frac{\frac{3^{3} \cdot 5}{2^{5} \cdot 7} \cdot \frac{7}{2^{4} \cdot 3}}{\frac{3 \cdot 5}{2^{5}} \cdot \frac{5^{2}}{7}} = \frac{\frac{3^{2} \cdot 5}{2^{9}}}{\frac{3 \cdot 5^{3}}{2^{5} \cdot 7}} = \frac{3^{2} \cdot 5}{2^{9}} \cdot \frac{2^{5} \cdot 7}{3 \cdot 5^{3}} = \frac{3 \cdot 7}{2^{4} \cdot 5^{2}}$$
+</hidden>
+==== 6. März bis 10. März 2017 ====
-==== 16. Januar 2017 bis 21. Januar 2017 ====
 === 1. Wochenlektion ===
-Berechnen Sie:
+Mit Hilfe einer exakten Skizze am Einheitskreis sind die folgenden Werte durch Messen zu bestimmen.
-  - $\left(\frac{4}{3}+2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$
+  - $\arctan(0.5)$
-  - $\left(-\frac{5}{3}-2\right)^{-1}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$
+  - $\arcsin(-0.25)$
-  - $\left(-\frac{7}{4}-\frac{3}{2}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$
+  - $\arccos(0.25)$
-<hidden Lösungen>
+<hidden Lösungshinweis>
-  - $ \frac{6}{5}$
+Für alle drei ein Einheitskreis (Radius: 8cm) zeichnen. Dann
-  - $ -\frac{6}{11}$
+  - Gerade mit Steigung 0.5 und Winkel messen. Der positive Winkel (Quadrant IV und I) ist dann ca. $26.6^\circ$.
-  - $ -\frac{5}{13}$
+  - Horizontale Gerade auf Höhe $y=-0.25$. $g_\alpha$ ist nun Definiert durch $O$ und den Schnittpunkt im Quadranten IV und I. Dies ergibt einen Winkel von ca. $-14.5^\circ$.
+  - Vertikale Gerade bei $x=0.25$ einzeichnen. $g_\alpha$ ist nun Definiert durch $O$ und den Schnittpunkt im Quadranten I und II. Dies ergibt einen Winkel (messen) von ca. $75.5^\circ$.
 </hidden>
 === 2. Wochenlektion ===
-Lösen Sie folgende Gleichungen:
+Mit Hilfe einer exakten Skizze am Einheitskreis sind die folgenden Werte durch Messen zu bestimmen.
-  - $$\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{2}{3}} = 6$$
+  - $\arctan(-0.5)$
-  - $$\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}} = 6$$
+  - $\arcsin(-0.75)$
-  - $$\frac{3}{4} \cdot x^{\frac{3}{4}} = 6$$
+  - $\arccos(-0.25)$
-<hidden Lösungen>
+<hidden Lösungshinweis>
-  - $x=8$
+Vorgehen wie oben.
-  - $x=27$
+  - $\arctan(-0.5)\approx -26.6^\circ$
-  - $x=16$
+  - $\arcsin(-0.75)\approx -48.6^\circ$
+  - $\arccos(-0.25)\approx 104.5^\circ$
 </hidden>
 === 3. Wochenlektion ===
-Lösen Sie folgende Gleichungen:
+Berechne im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ die fehlenden Seiten und Winkel auf vier signifikante Stellen.
-  - $$x^2 - \frac{13 x}{18} - \frac{7}{6} = 0$$
+  - $a=4$ und $b=8$
-  - $$x^2 - \frac{11 x}{21} - \frac{2}{21} = 0$$
+  - $a=3$ und $b=7$
-  - $$x^2 - \frac{19 x}{36} - \frac{1}{6} = 0$$
+  - $a=10$ und $b=3$
-<hidden Lösungen>
+<hidden Lösungshinweis>
-Achtung: Das sind quadratische Gleichungen. Entweder mit Vieta Faktorisieren oder mit der Mitternachtsformel:
+Es gilt immer, dass $\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\beta=90-\alpha$ und $\arctan\left(\frac{a}{b}\right)=\alpha$ und $a^2+b^2=c^2$, damit ist:
-  - $x=-\frac{7}{9}$ oder $x=\frac{3}{2}$
+  - $c\approx 8.944$, $\alpha\approx 26.57^\circ$ und $\beta\approx 63.43^\circ$
-  - $x=-\frac{1}{7}$ oder $x=\frac{2}{3}$
+  - $c\approx 7.616$, $\alpha\approx 23.20^\circ$ und $\beta\approx 66.80^\circ$
-  - $x=-\frac{2}{9}$ oder $x=\frac{3}{4}$
+  - $c\approx 10.44$, $\alpha\approx 73.30^\circ$ und $\beta\approx 16.70^\circ$
 </hidden>
 ==== Weitere Aufgaben ====
   * [[lehrkraefte:blc:miniaufgaben| Aufgaben von I. Blöchliger]]
   * [[lehrkraefte:ks:wochenaufgaben:kw43-2016|Bruchrechnen mit Zahlen, KW43]]
   * [[lehrkraefte:ks:wochenaufgaben:kw44-2016|Potenzen und Brüche]]
+  * [[lehrkraefte:ks:wochenaufgaben:kw01-2017|Potenzen]]