lehrkraefte:ks:wochenaufgaben

Auf jede Lektion (ausser Prüfungslektionen) ist eine Miniaufgabe zu lösen. Es gibt jeweils mehrere sehr ähnliche Aufgaben. Davon kann am Anfang der Lektion jeweils eine in Form eines Kurztests geprüft werden. Ob und welche Aufgabe geprüft wird, entscheidet ein Würfel.

1. Wochenlektion

Mit Hilfe einer Handskizze schätzen Sie folgende Werte auf 1 Stelle genau ab. (Achtung: die Winkel werden ebenfalls gewürfelt werden (wohl andere als hier)! Verwendung eines Geodreiecks ist erlaubt).

  1. $\sin(290^\circ)$, $\cos(290^\circ)$ und $\tan(290^\circ)$
  2. $\sin(160^\circ)$, $\cos(160^\circ)$ und $\tan(160^\circ)$
  3. $\sin(-110^\circ)$, $\cos(-110^\circ)$ und $\tan(-110^\circ)$

Lösungen

Lösungen

  1. $-0.9397$, $0.3420$, $-2.748$
  2. $0.3420$, $-0.9397$, $-0.3640$
  3. $-0.9397$, $-0.3420$, $2.748$

2. Wochenlektion

Mit Hilfe einer Handskizze beweisen Sie, dass für beliebige Winkel $\alpha$ gilt:

  1. $(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2=1$
  2. $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ ausser für $\alpha=90^\circ + k\cdot 180^\circ$ mit $k \in \mathbb{Z}$
  3. $\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)$
  4. $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

Lösungshinweis

Lösungshinweis

Skizze mit Einheitskreis und Punkt $P_\alpha$. Zusätzlich

1. & 2.: Stützdreieck mit Katheten $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ beschriften. Gewünschtes ablesen und kurz kommentieren. 3. & 4.: $P_{-\alpha}$ einzeichnen. Mit Spiegelung (woran?) und Koordinaten argumentieren.

3. Wochenlektion

Zerlegen Sie in Primfaktoren:

  1. 240
  2. 540
  3. 980

Lösungen

Lösungen

Vorgehen: sukzessive Faktoren ausdividieren, oder in einfachere Produkte zerlegen und diese Faktorisieren.

  1. $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$ (z.B. ist $240 = 10\cdot 3 \cdot 8 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2^3$).
  2. $540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$ (z.B. ist $540 = 10 \cdot 2 \cdot 27$, also $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3^3$).
  3. $980 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7^2$ (z.B. ist $980 = 20\cdot 49$).

1. Wochenlektion

Keine Miniaufgaben: Kurztest.

2. Wochenlektion

Mit Hilfe einer exakten Skizze am Einheitskreis sind die folgenden Werte durch Messen zu bestimmen.

  1. $\arctan(0.5)$
  2. $\arcsin(-0.25)$
  3. $\arccos(0.25)$

Lösungshinweis

Lösungshinweis

Für alle drei ein Einheitskreis (Radius: 8cm) zeichnen. Dann

  1. Gerade mit Steigung 0.5 und Winkel messen. Der positive Winkel (Quadrant IV und I) ist dann ca. $26.6^\circ$.
  2. Horizontale Gerade auf Höhe $y=-0.25$. $g_\alpha$ ist nun Definiert durch $O$ und den Schnittpunkt im Quadranten IV und I. Dies ergibt einen Winkel von ca. $-14.5^\circ$.
  3. Vertikale Gerade bei $x=0.25$ einzeichnen. $g_\alpha$ ist nun Definiert durch $O$ und den Schnittpunkt im Quadranten I und II. Dies ergibt einen Winkel (messen) von ca. $75.5^\circ$.

3. Wochenlektion

Berechne die Terme und gib das Resultat als Bruch an, dessen Zähler und Nenner vollständig in Primfaktoren faktorisiert sind.

  1. $$\frac{\frac{189}{18} \cdot \frac{48}{56}}{\frac{14}{112} : \frac{175}{63}}$$
  2. $$\frac{\frac{14}{45} \cdot \frac{10}{224}}{\frac{56}{175} : \frac{28}{160}}$$
  3. $$\frac{\frac{135}{224} \cdot \frac{21}{144}}{\frac{75}{160} : \frac{189}{675}}$$

Lösungen

Lösungen

Hinweis: Erst wo möglich kürzen, in Primfaktoren zerlgen, weiterkürzen, Doppelbrüche auflösen, weiter kürzen. Auf keinen Fall irgendwelche Multiplikationen ausrechnen!

  1. $$\frac{\frac{3^{3} \cdot 7}{2 \cdot 3^{2}} \cdot \frac{2^{4} \cdot 3}{2^{3} \cdot 7}}{\frac{2 \cdot 7}{2^{4} \cdot 7} : \frac{5^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 7}} = \frac{\frac{3 \cdot 7}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{7}}{\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{3^{2}}{5^{2}}} = \frac{3^{2}}{\frac{3^{2}}{2^{3} \cdot 5^{2}}} = 3^{2} \cdot \frac{2^{3} \cdot 5^{2}}{3^{2}} = 2^{3} \cdot 5^{2}$$
  2. $$\frac{\frac{2 \cdot 7}{3^{2} \cdot 5} \cdot \frac{2 \cdot 5}{2^{5} \cdot 7}}{\frac{2^{3} \cdot 7}{5^{2} \cdot 7} : \frac{2^{2} \cdot 7}{2^{5} \cdot 5}} = \frac{\frac{2 \cdot 7}{3^{2} \cdot 5} \cdot \frac{5}{2^{4} \cdot 7}}{\frac{2^{3}}{5^{2}} \cdot \frac{2^{3} \cdot 5}{7}} = \frac{\frac{1}{2^{3} \cdot 3^{2}}}{\frac{2^{6}}{5 \cdot 7}} = \frac{1}{2^{3} \cdot 3^{2}} \cdot \frac{5 \cdot 7}{2^{6}} = \frac{5 \cdot 7}{2^{9} \cdot 3^{2}}$$
  3. $$\frac{\frac{3^{3} \cdot 5}{2^{5} \cdot 7} \cdot \frac{3 \cdot 7}{2^{4} \cdot 3^{2}}}{\frac{3 \cdot 5^{2}}{2^{5} \cdot 5} : \frac{3^{3} \cdot 7}{3^{3} \cdot 5^{2}}} = \frac{\frac{3^{3} \cdot 5}{2^{5} \cdot 7} \cdot \frac{7}{2^{4} \cdot 3}}{\frac{3 \cdot 5}{2^{5}} \cdot \frac{5^{2}}{7}} = \frac{\frac{3^{2} \cdot 5}{2^{9}}}{\frac{3 \cdot 5^{3}}{2^{5} \cdot 7}} = \frac{3^{2} \cdot 5}{2^{9}} \cdot \frac{2^{5} \cdot 7}{3 \cdot 5^{3}} = \frac{3 \cdot 7}{2^{4} \cdot 5^{2}}$$

1. Wochenlektion

Mit Hilfe einer exakten Skizze am Einheitskreis sind die folgenden Werte durch Messen zu bestimmen.

  1. $\arctan(0.5)$
  2. $\arcsin(-0.25)$
  3. $\arccos(0.25)$

Lösungshinweis

Lösungshinweis

Für alle drei ein Einheitskreis (Radius: 8cm) zeichnen. Dann

  1. Gerade mit Steigung 0.5 und Winkel messen. Der positive Winkel (Quadrant IV und I) ist dann ca. $26.6^\circ$.
  2. Horizontale Gerade auf Höhe $y=-0.25$. $g_\alpha$ ist nun Definiert durch $O$ und den Schnittpunkt im Quadranten IV und I. Dies ergibt einen Winkel von ca. $-14.5^\circ$.
  3. Vertikale Gerade bei $x=0.25$ einzeichnen. $g_\alpha$ ist nun Definiert durch $O$ und den Schnittpunkt im Quadranten I und II. Dies ergibt einen Winkel (messen) von ca. $75.5^\circ$.

2. Wochenlektion

Mit Hilfe einer exakten Skizze am Einheitskreis sind die folgenden Werte durch Messen zu bestimmen.

  1. $\arctan(-0.5)$
  2. $\arcsin(-0.75)$
  3. $\arccos(-0.25)$

Lösungshinweis

Lösungshinweis

Vorgehen wie oben.

  1. $\arctan(-0.5)\approx -26.6^\circ$
  2. $\arcsin(-0.75)\approx -48.6^\circ$
  3. $\arccos(-0.25)\approx 104.5^\circ$

3. Wochenlektion

Berechne im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ die fehlenden Seiten und Winkel auf vier signifikante Stellen.

  1. $a=4$ und $b=8$
  2. $a=3$ und $b=7$
  3. $a=10$ und $b=3$

Lösungshinweis

Lösungshinweis

Es gilt immer, dass $\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\beta=90-\alpha$ und $\arctan\left(\frac{a}{b}\right)=\alpha$ und $a^2+b^2=c^2$, damit ist:

  1. $c\approx 8.944$, $\alpha\approx 26.57^\circ$ und $\beta\approx 63.43^\circ$
  2. $c\approx 7.616$, $\alpha\approx 23.20^\circ$ und $\beta\approx 66.80^\circ$
  3. $c\approx 10.44$, $\alpha\approx 73.30^\circ$ und $\beta\approx 16.70^\circ$
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  • Last modified: 2017/03/29 10:52
  • by Simon Knaus