lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2022-23:trigonometrie [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

mit Eintragungen während der Lektionen:

Beachte unten insbesondere den Abschnitt zu harmonischen Schwingungen.

Lernziele

Kurzfassung: Skript bis Abschnitt 12.2 einschliesslich; dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Wissen: Definition der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens), wie die Graphen dieser Funktionen aussehen, grundlegende Eigenschaften dieser Funktionen (z. B. die Identitäten in Aufgabe 12.5 samt Beweis), Umrechnung von Grad in Radiant (Bogenmass) und retour, Sinus und Cosinus in rechtwinkligen Dreiecken (GAGA Hühnerhof AG), wie man bei einem gleichschenkligen bzw. einem $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$-Dreieck aus einer Seite die beiden anderen ausrechnet.

Können: Aufgaben von ähnlichem Schwierigkeitsgrad wie die “Hammer und Schraubenschlüssel-Aufgaben” im Skript lösen können (bis Abschnitt 12.2 einschliesslich und zusätzlich Teilaufgabe~~n (c) und~~ (f) von Aufgabe 12.23) (inklusive Taschenrechner-Benutzung, wie in diesen Aufgaben geübt). Argumentationen zumindest stichwortartig angeben können. Die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens in eigenen Worten (mit Skizze) wiedergeben können.

Ein Kommazahl (= reelle Zahl) auf eine gewisse Anzahl signifikante Stellen angeben.

Lernziele 2. Prüfung

Zu Potenzen: Eventuell kommt eine Aufgabe zu Potenzen dran wie in der Woche vor der Prüfung geübt, etwa Potenzen ausrechnen oder ein Potenzgesetz angeben und erklären, warum es gilt (siehe Mini-Aufgabe).

Zu Trigonometrie:

Kurzfassung: Abschnitt 12.3 (Arcus-Funktionen) und 12.4 (Harmonische Schwingungen) und 12.7 (Repetition); dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Wissen: Definitionen der Arcusfunktionen (Arcus-Sinus, Arcus-Cosinus, Arcus-Tangens), wie die Graphen dieser Funktionen aussehen; wie eine harmonische Schwingung mathematisch beschrieben wird.

Können: Aufgaben von ähnlichem Schwierigkeitsgrad wie die “Hammer und Schraubenschlüssel-Aufgaben” im Skript und die Aufgaben in den Lektionen (insbesondere die Aufwärmaufgaben) lösen können. Die Definitionen der Arcus-Funktionen wiedergeben können. Werte der Arcus-Funktionen berechnen können (bei gewissen “schönen” Werten exakt, sonst zeichnerisch oder per TR). Textaufgaben lösen können (sowohl zu Arcus-Funktionen als auch zu harmonischen Schwingungen). Aus Graphen harmonischer Schwingungen Schwingungsgrössen (Amplitude, Frequenz, Periodendauer, Phase) ablesen können und damit Funktionsgleichung angeben können; umgekehrt von der Funktionsgleichung über die Schwingungsgrössen zum Graphen (dabei genaue Zeiten ermitteln, wann Graph “ganz oben”/“ganz unten”/“genau in der Mitte”).

Graphen von Funktionen mit dem Taschenrechner anzeigen können.

Argumentationen zumindest stichwortartig angeben können. Sinnvolle Skizzen erstellen können.

Diverse Tafelfotos

Velo-Rad als Motivation für Sinus- und Cosinus (Speed 0.5, Start at 0:06): https://www.youtube.com/watch?v=lFRncepeqC4

Nach Aufgabe 12.3 zeigen:

Bei Aufgabe 12.5 könnte das Folgende ergänzen (ist aber bereits Repetitionsaufgabe): $\cos(\alpha + 90^\circ) = -\sin(a)$ und $\sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(a)$. Dies erklärt nämlich (zusammen mit anderer Formel aus der Aufgabe), dass der Taschenrechner korrekterweise $\cos(55^\circ) = \sin(35^\circ)$ liefert. Eventuell allgemein zeigen lassen: $\cos(45^\circ + \alpha)=\sin(45^\circ-\alpha)$: Entweder als Folgerung aus den obigen Sachen oder direkt per Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.

Zu Aufgabe 12.6: Für die meisten Winkel kann man $\cos(\alpha)$ und $\sin(\alpha)$ nur näherungsweise berechnen. Für die in dieser Aufgabe angegebenen Winkel kann man diese Werte aber rein auf Grund geometrischer Überlegungen (ohne Taschenrechner bzw. Ablesen) exakt bestimmen. Für weitere Winkel, wo dies exakt möglich ist, siehe etwa https://en.wikipedia.org/wiki/Sine_and_cosine#Special_values.

Zum Messen von Winkeln: Dass wir den Vollwinkel mit $360^\circ$ bezeichnen (und nicht mit irgendeiner anderen Zahl), ist historisch bedingt. Es gibt mehrere Theorien, warum das so ist:

Die Sonne verschiebt sich von der Erde aus gesehen jeden Tag um einen Winkel von etwa einem Grad vor dem Fixsternhimmel. Dies hängt damit zusammen, dass das Jahr etwa 360 Tage hat, was man landwirtschaftlich/biologisch bzw. astronomisch beobachten kann: Wann “startet” der Frühling, also die Wachstumsperiode in der Natur? Wie lange dauert es, bis derselbe Fixsternhimmel wieder sichtbar wird (um Mitternacht)?
Der Winkel im gleichseitigen Dreieck (ein Sechstel des Vollwinkels) ist besonders “schön”. Da die Bablylonier im Sexagesimalsystem rechneten (also mit Basis 60 statt der Basis 10 im Dezimalsystem), teilten sie diesen Winkel in 60 gleich grosse “Einheitswinkel” von einem Grad.
Die Zahl 360 hat besonders viele Teiler (nämlich 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 120, 180, 360). Dies hat zur Folge, dass man im $360^\circ$-System sehr viele Winkel durch natürliche Zahlen angeben kann: Teilt man beispielsweise den Vollwinkel in 15 gleiche Teile, so erhält man einen Winkel von $\frac{360^\circ}{15} = 24^\circ$.

Wikipedia: Degree(angle), history

Arcus-Sinus: https://www.geogebra.org/classic/xecstfrx
Arcus-Cosinus: https://www.geogebra.org/classic/sjpg2vrq
Arcus-Tangens: https://www.geogebra.org/classic/g3nvsp3g

Beachte, dass für jede trigonometrische Funktion der Graph der zugehörigen Arcus-Funktion aus dem Graphen der betrachteten trigonometrischen Funktion (bzw. genauer aus einem gewissen Teil davon) durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden hervorgeht (was dem Vertauschen von $x$- und $y$-Koordinate aller Punkte entspricht). Der Grund ist folgender: Jede trigonometrische Funktion ordnet einem Winkel eine Zahl zu (die Koordinaten eines (vom Winkel abhängigen) Punktes bzw. die Steigung einer (vom Winkel abhängigen) Geraden). Die zugehörige Arcus-Funktion ordnet umgekeht einer Zahl einen Winkel zu.

Graphen von arcsin bzw. arccos bzw. arctan als dicke gelbe Linie

Meine Vorbereitung: einfuehrung-harmonische-schwingungen.pdf

In Lektion verwendet:

Federpendel vs. Kreisbewegung: https://www.youtube.com/watch?v=ZZiE8KbkTuw
evtl. 1:51 und 4:36 in https://www.youtube.com/watch?v=GqkND_7Kcc8

Geogebra: Harmonische Schwingung zum Ausprobieren verschiedener Parameter: https://www.geogebra.org/classic/u89nmhhm

Zur Lage der Ekliptik: viertes Bild auf https://www.rainerstumpe.de/Astro/sonnenbahn.html

(d) blaue Linie (daylight) in erster Graphik
(c) dritte Graphik (maximal sun altitude)

in https://ptaff.ca/soleil/?l1pays=Switzerland&l1etat=&l1ville=&l2pays=&l2etat=&l1cityname=St.+Gallen&l1ltd=47&l1ltm=25&l1lts=30&l1ltx=N&l1lgd=9&l1lgm=22&l1lgs=36&l1lgx=E&l1tz=0&l1dst=&l2cityname=&l2ltd=&l2ltm=&l2lts=&l2ltx=N&l2lgd=&l2lgm=&l2lgs=&l2lgx=E&l2tz=0&l2dst=&year=2023&month=01&day=01&lang=en_CA&go=Show+the+graph%21

Wer will, kann (so wie ich für St. Gallen) auch selbst die geographischen Koordinaten seines Wohnorts ermitteln (per Karte oder Internet) und hier eingeben: https://ptaff.ca/soleil/

https://www.youtube.com/watch?v=z0_fZhUMnu8