Kurvendiskussion

In der Prüfung dürfen Taschenrechner und Formelsammlung verwendet werden.

Kurzfassung: im Wesentlichen Kapitel 19 (jedoch sind wir nicht strikt dem Skript gefolgt); dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den behandelten Aufgaben (vgl. Tafelanschriebe) mit ein.

Wissen:

• Kenntnis der folgenden Begriffe: Nullstelle, lokales Maximum/Minimum, Hochpunkt/Tiefpunkt, Maximal-/Minimalstelle, globales Maximum/Minimum; Extremstelle, Extrempunkt, Extremum; höhere Ableitung (erste, zweite, dritte); Wendestelle, Wendepunkt.
• Notwendige Bedingung für Extremstelle: $x_0$ Extremstelle $\implies$ $f'(x_0)=0$ (Tangentensteigung Null)
• Hinreichende Bedingung für Maximalstelle: $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)<0 \implies x_0$ Maximalstelle (d.h. bekomme Hochpunkt, lokales Maximum)
• Hinreichende Bedingung für Minimalstelle: $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)>0 \implies x_0$ Minimalstelle (d.h. bekomme Tiefpunkt, lokales Minimum)
• Notwendige Bedingung für Wendestelle: $x_0$ Wendestelle $\implies f''(x_0)=0$
• Hinreichende Bedingung für Wendestelle: $f''(x_0)=0$ und $f'''(x_0)\not=0 \implies x_0$ Wendestelle (d.h. bekomme Wendepunkt)

Können:

• Ableitungen berechnen können; wer sich auf den Taschenrechner verlassen möchte, sollte dies üben (vgl. Tafelfotos auf dieser Seite; mit Ctrl-Enter bekommt man gerundete Ergebnisse)
• Kurvendiskussion (vgl. A4 und die an der Tafel vorgerechneten Beispiele von Polynomen zweiten Grades (Parabel, wo ist der Scheitel?) und dritten Grades):
  • Nullstellen einer Funktion bestimmen können
  • Extremstellen (und damit Hoch- und Tiefpunkte) einer Funktion bestimmen können (zumindest diejenigen, die sich mit den hinreichenden Bedingungen finden lassen)
  • Wendestellen (und damit Wendepunkte) einer Funktion bestimmen können (zumindest diejenigen, die sich mit der hinreichenden Bedingung finden lassen)
  • Aufgrund dieser Ergebnisse die Funktion skizzieren können (dazu empfiehlt es sich, eine Tabelle der interessanten $x$-Werte mit Funktionswerten und Werten der Ableitungen anzulegen). Genau stimmen müssen dabei:
    • Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte;
    • die Steigungen in diesen Punkten - dazu sind die Tangenten in diesen Punkten einzuzeichnen, bevor man den Graphen zeichnet.

• Extremwertaufgaben lösen können (z. B. Abstand eines Punktes von einer Geraden (an Tafel und A9), Büchse mit minimaler Oberfläche (A7 und A8), Aufgabe A11, insbesondere (a) (Drahtquader) und (d) (Abstand zu Parabel = zum Graphen einer quadratischer Funktion); letzteres ist fast dasselbe wie A10.