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Algebraische Form

Bestimmen Sie die algebraische Form der Bezierkurven von Grad 1,2,3 (und $n$, wer möchte), und zwar als konvexe Kombination der Kontrollpunkte mit den Koeffizienten als vollständig faktorisierte Polynome in $t$.

Form der Polynome und deren Ableitungen

Kontrollpunkte $\vec p_0$ bis $\vec p_n$: $$ \vec p(t) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (1-t)^{n-i} \cdot t^i \cdot \vec p_i $$

Für Grad 3: $$ \vec p(t) = (1-t)^3 \cdot \vec p_0 + 3(1-t)^2t \cdot \vec p_1 + 3 \cdot (1-t)t^2 \cdot \vec p_2 + t^3 \cdot \vec p_3 $$

Ableitungen von $p(t)$ für $t \in [0,1]$

$$ v(t) = -3(1-t)^2 \cdot \vec p_0 + 3(1-t)(1-3t)\cdot \vec p_1 + 3t(2-3t) \cdot \vec p_2 + 3t^2 \cdot \vec p_3 $$

Man findet $\vec v(0) = 3(\vec p_1 - \vec p_0)$, also Tangente parallel zu $P_0P_1$. Analog mit $\vec v(1) = 3(\vec p_3 - \vec p_2)$.

Mit Maxima: 

p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
define(v(t), factorout(diff(p(t,a,b,c,d),t),t));
tex(v(t));
define(a(t), factorout(diff(v(t),t),t));
tex(a(t));

liefert $$3\,d\,t^2+3\,b\,\left(t-1\right)\,\left(3\,t-1\right)-3\,c\,t\, \left(3\,t-2\right)-3\,a\,\left(t-1\right)^2$$ und $$-6\,c\,\left(3\,t-1\right)+6\,b\,\left(3\,t-2\right)+6\,d\,t-6\,a\, \left(t-1\right)$$

Interessant sind auch hier die Werte von $a(0)$ und $a(1)$: $$a(0) = 6\,c-12\,b+6\,a$$ $$a(1) = 6\,d-12\,c+6\,b$$

Darstellung von Kurven vom Grad 1 und 2 mit Hilfe von einer Kurve vom Grad 3

Grad 1

Damit die Geschwindigkeit für $t=0$ übereinstimmt, müssen die Kontrollpunkte sich bei $t=\frac{1}{3}$ und $t=\frac{2}{3}$ befinden. Beweis mit Maxima (ein OpenSource CAS-Programm): 

p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
factorout(expand(p(t, a, (2/3*a+1/3*b), a/3+2/3*b,b)),t);
tex(%);

liefert: $$b\,t+a\,\left(1-t\right)$$

Grad 2

Für den Grad zwei, mit Kontrollpunkten $q_0, q_1, q_2$ ist $\vec v(0) = 2(\vec q_1-\vec q_0)$. Damit die Geschwindigkeiten für $t=0$ übereinstimmen muss $p_1 = \frac{1}{3}q_0 + \frac{2}{3}q_1$ sein. Analog für $p_2$. Beweis wieder mit Maxima: 

p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
factorout(expand(p(t, a, (2/3*b+1/3*a), c/3+2/3*b,c)),t);
tex(%);

liefert: $$c\,t^2-2\,b\,\left(t-1\right)\,t+a\,\left(t-1\right)^2$$

Analyse von SVG-Pfaden

Dokumentation:

Vorgehen

Ziel:

SVG-Datei mit Inkscape erstellen → Python Programm das die Pfade ausliest → Konvertieren in Polygonzug → Umrechnen in Plotter-Koordinaten → Plotter Befehle → WhiteBoard verschönern.

Wäre cool:

Umgang mit Inkscape

Download für die Schulcomputer: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:informatik:glf19:glf19#make_the_computer_zimmer_great_again

Nützliche Tastenkombinationen:

Pfad-Manipulationen: