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Freifach Statistik

Lektion 01

Ziele

Ziele der Lektion:

Auftrag

Lektion 02/03a

Ziele der Lektion

Aufträge:

Histogramm Eile mit Weile bei 1'000'000 Würfeln

R Code Simulation Eile-mit-Weile

eilemitweile.R
rollDie <- function() {
    isSix <- TRUE
    sum <- 0
    while (isSix) {
        thissample <- sample(6, 1)
        if (thissample + sum > 18) 
            break
        sum <- sum + thissample
        isSix <- thissample == 6
 
    }
    if (sum == 18) {
        sum <- 0
    }
    return(sum)
}
dier <- dier <- replicate(1e+06, rollDie())
hist(dier, breaks = seq(-1, 17), main = "Histogramm Eile mit Weile", xlab = "Augenzahl", ylab = "Absolute Häufigkeit", col = "lightblue")

Lektion 04

Ziele

Auftrag

<h Lösung>

</hidden>

Definitionen

Quantil

Ein Quantil gibt den dem Prozentrang zugehörigen Wert der Verteilung wieder. Der Median ist z.B. das 50% Quantil. Das 25%-Quantil z.B. ist der Wert, für welchen gilt, dass 25% der Werte kleiner und 75% der Werte grösser sind. Mathematisch kann man das wie folgt festhalten:

Möchte man das Quantil $\alpha=35\%=0.35$ von den $n=15$ Daten 10.6, 16.9, -27.3, 9.6, 18.1, -6.4, 34.4, 42.7, -3.6, 5, -3.2, 11.1, 46.1, 19.4, 2.4 berechnen, dso muss man diese zuerst sortieren: -27.3, -6.4, -3.6, -3.2, 2.4, 5, 9.6, 10.6, 11.1, 16.9, 18.1, 19.4, 34.4, 42.7, 46.1. Die sortierten Werte werden mit $x_{(1)},x_{(2)},\ldots,x_{(n)}$ bezeichnet. Man sucht dann diesen Wert so, dass der gefundene Wert dem geforderten Prozentrang von $\alpha=0.35$ am nächsten kommt.

Genauer: Sei $K=\lfloor\alpha\cdot n\rfloor+1$ wobei $\lfloor\cdot\rfloor$ auf die nächste ganze Zahl abrundet. Für uns ist also $K=\lfloor0.35\cdot 15\rfloor+1=\lfloor5.25\rfloor+1=5+1=6$. Wir nehmen also den 6. Wert: Damit ist $Q_{0.35}=x_{(6)}=5$

Ist aber $\alpha\cdot n$ eine natürliche Zahl so, so nehmen wir wegen des Abrundens den mittleren der beiden Werte $x_{(K-1)}$ und $x_{(K)}$: Für $\alpha=0.2$ ist $K=3+1=4$ und damit $Q_{0.2}=\frac12((-3.6)+(-3.2))=-3.4$. $$Q_\alpha=\begin{cases}x_{(K)}\text{ wenn $\alpha\cdot n$ nicht ganzzahlig}\\\frac12\left(x_{(K)}+x_{(K-1)}\right)\text{ wenn $\alpha\cdot n$ ganzzahlig}\end{cases}$$

Quartile

Quartile sind die $25\%$, $50\%$ und $75\%$ Quantile einer Verteilung. Für das erste Quartil gilt also, dass $25\%$ der Beobachtungen kleiner sind, $75\%$ der Beochbachtungen sind grösser.

Bei der Berechung der Quantile kommen bei unterschieldichen Softwarelösungen unterschiedliche Methoden zum Einsatz. Das heisst, u.U. stimmen die Quantile zweier unterschiedlichen Softwarelösungen nicht überein.

Interquartilsabstand (IQA)

Der Interquartilsabstand ist ein Mass für die Skala einer Verteilung. Wie weit sind das erste und dritte Quartil auseinander: $\text{IQA}=Q_{0.75}-Q_{0.25}$.

R-Code

R-Code

^ 

bmw <- read.table(file("clipboard"),sep="\t",header = T)
library(ggplot2)
ggplot(bmw,aes(x=preis))+geom_histogram()+facet_wrap(~model)+xlab("Preis")+ylab("Anzahl")
names(bmw)
tapply(bmw$preis,bmw$model,median)
tapply(bmw$preis,bmw$model,mean)
tapply(bmw$preis,bmw$model,sd)
tapply(bmw$preis,bmw$model,var)
 
mean(bmw$preis[bmw$model=="x1"])

Lektion 05

Ziele

Aufträge

Boxplot

Ein Boxplot besteht aus einer Box, welche durch das erste und dritte Quartil ($Q_{25\%}$ und $Q_{75\%}$) begrenzt ist. Damit liegen $50\%$ der Daten in der Box. Der mittige Strich ist der Median ($q_{50\%}$), die Whiskers (Antennen oder Schnäuze) sind $w_1=Q_{50\%}-1.5\cdot IQA$ und $w_2=Q_{50\%}+1.5\cdot IQA$. $w_1$ und $w_2$ sind dabei zum Teil auch durch den grössten (resp. kleinsten für $w_1$) Wert eines Datenpunktes ersetzt, welcher gerade noch kleiner (resp. grösser für $w_1$) ist als $w_2$. Die Whiskers sind dann nicht symmetrisch. Die Punkte, die ausserhalb der Whiskers liegen, nennt man Outlier oder Ausreisser. Man kann zeigen, dass bei normalverteilten Daten, ca. $95\%$ der Beobachtungen innerhalb der beiden Whiskers zu liegen kommen.

Geogebra kann mit Hilfe von Ansicht → Tabelle → Daten eingeben → Analyse einer Variable → Boxplot Boxplot-Grafiken erstellen. In Excel ist es auch möglich, allerdings etwas mühsamer.

Boxplot der Preise nach Modell

Interpretation Boxplot

Lektion 06

Ziele

Aufträge

Theorie

Auf Grund der Lorenzkurve kann ausgesagt werden, wie stark die Merkmale (resp. deren Ausprägung) konzentriert sind (ein Konzentrationsmass). Das klassische Beispiel dabei ist die Einkommenverteilung. Die Frage, die dabei gestellt, resp. beantwortet wird, ist “Wie viel Prozent der Leute (Köpfe) verdienen wie viel Prozent des Gesamteinkommens?»

Einkommen Anzahl Personen Kumululierte relative Anzahl Einkommenssumme Kumululierte relative Einkommenssumme
2317 10 0.20 23'170 0.17
2552 11 0.42 28'072 0.37
2787 14 0.70 39'018 0.65
3022 8 0.86 24'176 0.83
3257 3 0.92 9'771 0.90
3492 4 1.00 13'968 1.00
Total 50 138'175

Zeichnet man nun die Punkte $(\text{Kumulierte relative Anzahl},\text{Kumulierte relative Einkommenssumme})=(x,y)$ und verindet diese, erhält man die Lorenzkurve: Würden alle gleich viel verdienen, lägen die Punkte auf der Winkelhalbierenden.

Als Mass der Ungleichverteilung verwendet nun die Fläche, welche die Lorenzkurve mit der Winkelhalbierenden einschliesst. Diese Fläche nennt man auch Gini–Koeffizient

Gini-Koeffizient. Quelle: https://www.fuw.ch/wp-content/uploads/2015/01/

Als Beispiel für die Lorenzkurve wiederum die 5 BMW Modelle und ihre Preise. Achtung: Es handelt sich dabei nicht um ein Einkommen!

Die Lorenzkurve macht im Allgemeinen nur Sinn für Merkmale, mit positiven Werten (Preis, Einkommen, etc.)

R Code

R Code 

computeLorenzCurve <- function(x, plot = T) {
    nobs <- length(x)
    sortedx <- sort(x)
    abscissa <- (1:nobs)/nobs
    ordinate <- cumsum(sort(x))/sum(x)
 
    if (plot) {
        plot(ordinate, abscissa, main = "Lorenzkurve")
        abline(a = 0, b = 1)
    }
 
    return(cbind(abscissa, ordinate))
}

Lektion 07

Ziele

Aufträge

Lösungen

Lösungen

Die Intervalle berechnen sich jeweils aus Mittelwert $\pm$ $2\sigma$:

  • Geburtsgewichte: $[2024.9, 4499.4]$
  • Autopreise: $[-4731.3, 95521.4]$
  • Aktienrenditen: $[-0.02345, 0.02378]$

Theorie

Normalverteilung

Grosse Teile der Statistik beruhen auf der sogenannten Normaleverteilung. Eine Grösse resp. ein Merkmal ist normalverteilt, wenn die Ableitung der Verteilungsfunktion durch $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ gegeben ist. Für unsere Zwecke erscheint das aber kryptisch und wir beschränken uns darauf, festzuhalten, dass ein Histogram einer Standard-Normalverteilten Zufallsvariable wie folgt aussieht:

Aussehen Normalverteilung

Dabei ist wichtig festzuhalten, dass die Anzahl der Klassen in Histogramm offensichtlich willkürlich ist. Der theoretische Unterbau besagt aber, dass die Klassen beliebig klein gewählt werden können und das Histogramm zum Schluss (bei unendlich kleiner Klassenbreite und unendlich vielen Beobachtungen) dem Graphen der Funktion $f$ von oben entspricht.

Standardnormalverteilung und Standardisieren

Um nun sicher zu stellen, dass man immer von der gleichen Normalverteilung spricht, transformiert man Merkmale. Wenn $\mu_X=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i$ und $\sigma_X=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n}$ ist, dann sagt man, dass das Merkmal $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ das standardisierte Merkmal von $X$ ist. Man kann dann jede Beobachtung $x_i$ zu $z_i=\frac{x_i-\mu}{\sigma}$ standardisieren.

$x_i$$x_i-\mu_X$$\frac{x_i-\mu_X}{\sigma_X}$
-5-9-1.21
510.13
510.13
0-4-0.54
15111.48
$\mu$400
$\sigma$7.417.411

Berechnet man nun den Mittelwert von $Z$, $\mu_Z$ und die Standardabweichung von $Z$, $\sigma_Z$ so kommt – egal wie $X$ ursprünglich verteilt ist – heraus, dass $\mu_Z=1$ und $\sigma_Z=1$ ist.

Beweis

Beweis

Es gilt ja $\mu_z=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i -n\cdot\frac1n \mu_x = \mu_x-\mu_x=0$.

Das gleiche Arugment kann für $\sigma_Z$ geführt werden: Die Rechnung wird etwas garstiger, funkioniert aber genau gleich.

Ist nun ein Merkmal $X$ *normalverteilt* so ist das standardisierte Merkmal *standardnormalverteilt*, das heisst, es ist normalverteilt Standardabweichung $\sigma=1$ und Mittelwert $\mu=0$.

Wahrscheinlichkeiten

Für standard-normalverteilte Merkmale – und damit auch für normalverteilte Merkmale – können sehr starke Aussagen über die Verteilung gemacht werden. So gilt z.B., dass im Intervall $[\mu_X-\sigma_X,\mu_X+\sigma_X]$ $68\%$ der Daten liegen. Für andere Vielfachen gilt die Tabelle unten:

n Prozent in $[\mu_x-n\cdot\sigma_X,\mu_x+n\cdot\sigma_X]$
1 $68.3\%$
2 $95.4\%$
3 $99.7\%$
4 $\approx 100\%$

Hat ein normalverteiltes Merkmal zum Beispiel den Mittelwert $\mu_X=11.2$ und $\sigma_X=3.1$ dann liegen ca. $68\%$ der Daten im Intervall $[8.1,14.3]=[11.2-3.1,11.2+3.1]$, das heisst in einem Intervall der Breite zwei $\sigma$ zentriert um den Mittelwert liegen ca. $68\%$ der Daten.

Relevanz

Der Begriff einer (Standard-)normalverteilten Variable ist sehr wichtig: Einerseits, weil theoretisch gezeigt werden dann, dass die Summe vieler gleichartiger und unabhängiger Zufälle immer normalverteilt ist und andererseits weil eben gerade die Eigenschaft dazu führt, dass viele Daten in der “Welt da draussen” normalverteilt sind.

Aus einer mathematischen Sicht gilt noch anzumerken, dass zum Teil auch der Logarithmus eines Merkmals normalverteilt sein kann. Dies ist dann der Fall, wenn davon auszugehen ist, dass das Merkmal das Produkt vieler gleichartigen und unabhängigen Zufällen ist.

Daten in R

#Daten aus Clipboard
inputdata <- read.table(file("clipboard"), sep="\t") #returns dataframe from excel clipboard separated by tab
#oder
inputdata <- readClipboard(file("clipboard")) #if single column
#oder
inputdata <- read.csv2("filenname.csv") #separation by semicolon

Lektion 08

Ziele

Auträge

Theorie

Wird ein Zusammenhang zwischen zwei kardinalen Merkmalen vermutet, sollte als erstes ein sogenannter Scatterplot erstellt werden. Zu diesem Zweck, wird das eine Merkmal auf der $x$-Achse und das andere Merkmal auf der $y$-Achse abgetragen.

Nun gibt es ein Mass für diesen Zusammenhang: Die Stärke wie auch die Richtung des Zusammenhangs der Mermkale $X$ und $Y$, $R_{xy}$, wird mit der Korrelation gemessen: $$R_{xy}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}}$$ Die Korrelation nimmt nur Werte zwischen $-1$ und $1$ an. In Excel wie auch in R sind Funktionen zur Berechnung der Korrelation hinterlegt. Wichtig dabei ist zu beachten, dass die Korrelation nur einen linearen Zusammenhang misst:

Möchte man die Stärke der Korrelation messen, quadriert man $R_{xy}$ zur $R^2=R_{xy}^2$. Man spricht von einem «starken Zusammenhang» wenn $0.5\leq R^2\leq 1$ ist, von einem «moderaten Zusammenhang» wenn $0.25\leq R^2 < 0.5$ ist, und schliesslich von einem «schwachen Zusammenhang» wenn $0.1\leq R^2<0.25$ ist. Ist schliesslich $R^2$ kleiner so liegt kein Zusammenhang vor. $R^2$ wird auch Bestimmtheismass genannt.

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass Richtung und Stärke eines linearen Zusammenhangs gemessen werden kann:

Korrelation und Kausalität

Auch wenn $R^2$ sehr gross ist, muss das nicht heissen, dass in Tat und Wahrheit wirklich ein Zusammenhang dieser beiden Variablen vorliegt. Es kann durchaus sein, dass die Korrelation zufällig zu Stande gekommen ist. Man spricht dann auch von Scheinkorrelation oder in Englisch von spurious correlation.

Kausalität in diesem Zusammenhang besagt, dass ein Merkmal ein anderes bedingt: So ist zum Beispiel bei der Thematik Schuhgrösse und Körpergrösse wirklich davon auszugehen, dass ein kausaler Zusammenhang besteht.

Korrelationen BMW Datensatz nach Modell

R-Code

R-Code 

library(corrplot)
png("C:/temp/corrbmw.png",width=300,height=1500)
par(mfrow=c(2,3))
for(mod in sort(unique(bmw$model))){
  tbmw = subset(bmw,model==mod)
  corbmw <- tbmw[,sapply(tbmw,is.numeric) & sapply(tbmw,function(inv){sd(inv,na.rm=T)>0})]
  corrplot(cor(corbmw,use="pairw"),main=mod,mar=c(0,0,1,0))  
}
dev.off()

Lektion 09

Ziele

Aufträge

Theorie

Bei der Regression geht es letztendlich darum, den Zusammenhang, der in der letzten Lektion mit der Korrelation beobachtet worden ist, genauer zu beschreiben.

Die Idee der Regression ist, die Summe der quadratischen Abstände einer Geraden zu den beobachteten Datenpunkten zu minimieren. Dabei ist wichtig zu beachten, dass nur die vertikalen Abstände betrachtet werden:

Jede lineare Funktion $g$ kann als $g:y=mx+q$ beschrieben werden. Man sucht also $m$ und $q$ so, dass die quadrierte Summe der Längen der gestrichelten Linien minimal ist.

Streng mathematisch ausgedrückt hat man die Wertepaare $(x_1,y_1),\, (x_1,y_1),\,(x_3,y_3), \ldots,(x_n,y_n)$. Hat man nun einen beobachtete $x$-Wert $x_i$ so ist die Vorhersage der Gerade für den $y$-Wert $mx_i+q$. Für ein gegebenes $m$ und $q$ ist damit der Abstand des $i$-ten Datenpunktes also $y_i-(mx_i+q)$, entsprechend ist der quadrierte Abstand des $i$-ten Datenpunktes $y_i-(mx_i+q))^2$.

Schliesslich sucht man eben $m$ und $q$ so, dass die Summe $$ (y_1-(mx_1+q))^2+(y_2-(mx_2+q))^2+(y_3-(mx_3+q))^2+\cdots (y_n-(mx_n+q))^2=\sum_{i=1}^n (y_i-(mx_i-q))^2 $$ minimal ist.

Betrachtet man diese Summe genauer, stellt man fest, dass dieser Ausdruck ein quadratischer Ausdruck ist, wenn man $m$ und $q$ als Variablen betrachtet. In anderen Worten, würde man – für gegebene Datenpunkte werden $x_i$ und $y_i$ zu Zahlen – diesen Ausdruck als Graph darstellen, erhielte man eine Parabel. Für Parabeln kann der Scheitelpunkt, welcher das Minimum der Parabel ist, einfach mit der Scheitelpunktformel berechnet werden.

Mit dieser Feststellung kann dann $m= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2}$ und $q=\bar y-m\bar x$ berechnet werden. Die Berechnung von $m$ und $q$ mit diesen Formeln führt zum Ziel, ist aber umständlich. Alle vernünftigen Datenanalyse-Programme können sogenannte Regressionsanalysen – oder eben Ausgleichsgeraden – berechnen.

R-Code

R-Code

regressionanalyse.r
## Bsp Video Daten aus Excel in der Zwischenablage:
regdf <- read.table(file("clipboard"), sep = "\t", header = T)
lm(y ~ x, data = regdf)
summary(lm(y ~ x, data = regdf))
 
## Syntethische Daten
# Parameter um Daten zu generieren
nobs <- 40
m <- 3
q <- -2
 
# Generieren der Daten
 
# Zufällige x Werte
xdat <- runif(nobs) * 10
# y Werte gemäss y=mx+q plus Zufall
ydat <- m * xdat + q + rnorm(nobs, sd = 4)
 
# Zusammenfassen in dataframe
regdf <- data.frame(x = xdat, y = ydat)
 
# Regressionsmodell
lm(y ~ x, data = regdf)
# Übersicht Regressionsmodell
summary(lm(y ~ x, data = regdf))

Lösungen

Berechnet man für die normalen Preise (nicht $\log$) die Regressiongerade, erhält man:

Für den X1 «kostet» also ein gefahrener Kilometer ca. 30 Rp, für den X6 kostet dieser ca. 39 Rp

Lektion 10

Ziele

Autrag

Daten Lektion 10

Für diese Lektion sind den ursprünglichen Daten mehrere Kolonnen (Alter in Tagen, Alter in Jahren, Diesel Ja) hinzugefügt worden, die in dieser Lektion zu verwenden sind. Diese finden sich hier als Excel-Datei.

Theorie

Teil 1

Beim letzten Mal haben wir die univariate Regression besprochen. Dabei geht es darum eine Variable ($Y$, Preis) auf eine andere Variable ($X$, Kilometer) zu regressieren. Zum Schluss haben wir ein Modell erhalten, dass einen Zusammenhang der Form \[ Y=q+m\cdot X \] beschreibt. Man sagt auch $Y$ ist die abhängige Variable, $X$ die erklärende Variable.

Mathematisch genau

Mathematisch genau

Dabei ist zu beachten, dass $Y$ und $X$ die Variablen sind. Das Modell müsste eigentlich lauten: \[ Y_i=q+m\cdot X_i+\varepsilon_i. \] Dabei ist $X_i$ und $Y_i$ die $i$-te Beobachtung und $\varepsilon_i$ ein Fehler, der die Ungenauigkeit oder eben die Abweichung vom Modell beschreibt. $m$ und $q$ sind nun so bestimmt worden, dass eben die Summe dieser beobachten quadrierten Fehlern minimal ist.

Man könnte jetzt noch weiter gehen und eine Variable ($Y$, Preis) auf mehrere andere Variablen ($X_1$, Kilometer; $X_2$, Alter) regressieren. Das Modell in diesem Fall würde dann lauten: \[ Y=q+m_1\cdot X_1 + m_2\cdot X_2. \] Der Preis ($Y$) ist dann also eine lineare Funktion der gefahrenen Kilometern ($X_1$) sowie des Alters ($X_2$).

Man kann diese Überlegung nun auf beliebig viele erklärende Variablen ausweiten um ein allgemeines Modell mit $k$ Variablen der Form \[ Y=q+m_1\cdot X_1 + \cdots+m_k\cdot X_k \] zu erhalten. Die Idee ist dabei dieselbe wie bei der univariaten Regression (Lektion 09): $q$, $m_1\ldots,m_k$ werden so bestimmt, dass die Summe der quadratischen Abweichungen der Modellvorhersage vom beobachteten Wert minimal ist. Die Werte $q$, $m_1\ldots,m_k$ heissen auch Koeffizienten. In statistischen Kontext verwendet man dafür auch oft die Buchstaben $\beta$: Es ist dann $\beta_0=q$ und $\beta_i=m_i$.

Mathematisch genau

Mathematisch genau

Das Problem der Lektion 09 konnten wir uns im zweidimensionalen Fall $\mathbb{R}^2$ vorstellen: Wir suchen eine Gerade, welche optimal durch die Punktewolke läuft. Das Problem dieser Lektion ist analog: Wir haben nun einen dreidimensionalen Fall in $\mathbb{R}^2$, wenn wir zwei Variablen verwenden, um den Preis zu erklären. Entsprechend könnte man $Y=q+m_1\cdot X_1 +m_2\cdot X_2\Leftrightarrow 0=q+m_1\cdot X_1 +m_2\cdot X_2-Y$ als Koordinatenform einer Ebene verstehen ($0=Ax+By+Cz+D$ wobei $x=X_1$, $y=X_2$ und $z=Y$), welche eben wiederum optimal durch die Punktewolke verläuft. $q$, $m_1$ und $m_2$ werden nun so bestimmt, dass diese Optimalität eben erfüllt ist.

Das Kriterium für die Optimalität ist in beiden Fällen die minimale Summe der quadrierten Abweichungen.

Das Problem kann nun generalisiert werden ist aber dann kaum mehr schwer vorstellbar. Möchte man eine Variable (Preis) mit anderen $n$ Variablen erklären, kann man das im $n+1$-dimensionalen Raum machen und sich eine sogenannte Hyperebene suchen, welche eben die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert.

Teil 2

Alle bisher betrachteten Variablen waren kardinaler Natur (Preis, Kilometer, Verbrauch, etc.). Möchte man nun nominale Variablen als erklärende Variablen verwenden (z.B. Farbe, Getriebeart, Treibstoff etc.) so muss man diese erst in sogenannte Dummy-Variablen umwandeln.

Für den Treibstoff könnte man unterscheiden zwischen «Diesel» und «Nicht Diesel»: Man kreiert also eine neue Variable diesel_ja welche den Wert $1$ annimmt, wenn das Fahrzeug mit Diesel ist und $0$ sonst. Damit ist dann der Wert des zur Variable diesel_ja gehörenden Koeffizienten, eben genau dieser Betrag, um welcher der Preis erhöht wird, wenn das Auto mit Diesel fährt. Genau gleich kann man mit allen nominalen Variablen verfahren, die zwei Ausprägungen haben (z.B. Schaltung/Manuell, Unfall/kein Unfall, etc.)

Für Variablen, die mehr als zwei Ausprägungen haben. Man erstellt in diesem Fall einfach mehrere Dummy-Variablen. Z.B. könnte man um die Farben rot, grün, blau in einer Regression folgende zwei Dummy-Variablen berüchichtigen um dann die ursprünglichen Farben zu codieren

rot_ja grün_ja
rot 1 0
grün 0 1
blau 0 0

Der Koeffizient von rot_ja ist dann die Preisdifferenz eines roten Autos; der Koeffizient von grün_ja ist die Preisdiffernez eines grünen Autos. Offensichtlich wird dabei immer die Preisdifferenz zu einem Basisauto angenommen, welches im Fall der obigen Codierung blau ist.

Um eine Nominale-Variable mit $n$ Ausprägungen zu codieren, braucht man also $n-1$ Dummy-Variablen.

Durchführung

Excel kann genau gleich wie univariate Regression auch multivariate Regression durchführen. Für die Beispieldaten könnte ein Modell, welches Preis auf die Variablen Alter, Kilometer, Alter (Jahren) und Verbrauch regressiert, wie folgt über den Assistenten eingegeben werden:

Wichtig dabei ist, dass alle erklärenden Variablen in nebeneinanderliegen Spalten sind (Oben: In den Spalten Z bis AC, für die Zeilen 1 [Titel] bis 3931).

Caveat: Excel ist nicht die optimale Lösung für solche Probleme. Dies äussert sich auch in z.T. ungenauen / falschen Berechnungen. Für weiterführende Zwecke, sollte ein Statistikprogramm verwendet werden.

R-Lösung

R-Lösung 

bmwdata <- read.table(file("clipboard"), sep = "\t", header = T)
head(bmwdata)
regressionsmodell <- lm(preis ~ kilometer + alter_jahre + verbrauch + diesel_ja, data = bmwdata)
summary(regressionsmodell)

Lektion 11

Ziele

Autrag

Histogramm

Histogramm

Die Zufallsvariable $X$ «Anzahl Zahl» kann die Werte $0$, $1$, $2$ und $3$ annehmen. Es geht jetz also darum (siehe Blätter), die relative Häufigkeit $h(x)=\frac{n_x}{n}$ zu berechnen und die Werte aufzuzeichnen

Erklärungen

Die Formel BINOM.VERT kann in Excel verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen bei $n$ Durchführungen eines Experiments genau $k$ mal Erfolg zu haben wobei der Erfolg mit Wahrscheinlichkeit $p$ eintritt. Man muss dann BINOM.VERT(k;n;p; FALSCH) aufrufen. FALSCH ist dabei notwendig, dass man die Wahrscheinlichkeit erhält. Würde WAHR stehen, erhielte man die Summe aller Wahrscheinlichkeiten mit Anzahl Erfolgen kleiner gleich $k$. In R kann genau das gleiche mit dbinom(k, n, p) erreicht werden.

Lektion 12

Ziele

Auftrag

Theorie

Ein statistischer Test ist eine Entscheidungsregel, mit der entschieden wird, ob die Modellwelt in einem Zustand ($H_0$) ist oder nicht. Für die «tea tasting lady» ist die Annahme der Modellwelt, dass sie es nicht kann. Dies lässt sich übersetzen zur Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Tasse richtig erkennt zufällig ist, dass heisst, dass ihre Trefferquote $p=50\%=0.5$ ist, man schreibt für diese Annahme $H_0:p=0.5$. Unter dieser Annahme haben wir nun in der letzten Sitzung berechnet, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass sie eine gewisse Anzahl Tassen richtig erkennt.

Anzahl richtige TassenWahrscheinlichkeit Kumulierte W'keit
0 0.0010 0.0010
1 0.0098 0.0107
2 0.0439 0.0547
3 0.1172 0.1719
4 0.2051 0.3770
5 0.2461 0.6230
6 0.2051 0.8281
7 0.1172 0.9453
8 0.0439 0.9893
9 0.0098 0.9990
10 0.0010 1.0000

Ein Test legt nun eine Grösse so fest, auf Grund derer entschieden werden kann, in welchem Zustand sich die Welt befindet. Typischerweise spricht man vom Niveau eines Tests welches per Konvention bei $5\%$ liegt.

Im Beispiel der Tassen sucht man sich also diese Anzahl Tassen, so dass die Wahrscheinlichkeit, sich im Schluss zu täuschen, kleiner als $5\%$ ist.

Die Entscheidungsregel ist also «Hat die Lady mehr als ($\geq 8$) Tassen richtig, kann sie es wirklich». Dass sie acht und mehr Tassen zufällig ($H_0:p=0.5$) richtig tippt, beträgt $1-0.9893=0.0107=1.07\%$

Modellwelt
Ja Nein
Beob. Welt Ja x Fehler 2. Art
Nein Fehler 1. Art x

Der Fehler 1. Art ist üblicherweise das, was man kontrolliert und dieser wird mit $\alpha$ notiert. In unserem Beispiel, mit einem Untersuch von $10$ Tassen und einem Entscheid von $8$ Tassen haben wir $\alpha=1.07\%$. Der Fehler 2. Art ist üblicherweise schwieriger zu berechnen und wir thematisieren diesen hier nicht näher.

Genaueres dazu findet sich z.B. auch in Fehlerarten auf Wikipedia.

Medizinische Tests können genauso als Tests verstanden werden. Ein klassischer HIV Test ist ein sogenannter ELISA (enzyme-linked immuno sorbent assay) Test. Dabei werden nicht die Viren direkt nachgewiesen sondern Antikörper nachgewiesen. Auch dieser Test hat eine Entscheidungsregel (analog: «mehr als 8 Tassen») und eine Wahrheit (analog: «p=0.5» oder nicht).

Für den ELISA-HIV Test sind die Fehlerwahrscheinlichkeiten der 1. und 2. Art bekannt (als populärwissenschaftliche Quelle z.B. diese Webseite):

Modellwelt (Tatsächlicher Gesundheitszustand)
Ja Nein
Beob. Welt (Diagnose) Ja 99.3% 0.7%
Nein 0.03% 99.97%

Man sagt der Fehlerwahrscheinlichkeiten der 1. Art auch «true-positive rate» oder «Sensitivität», der Fehlerwahrscheinlichkeiten der 2. Art auch «true-negative rate» oder «Spezifizität».

Eine wichtige grösse für Testproblem ist auch die sogenannte «baserate» oder «Prävalenz»: Diese gibt an, wie viel Personen einer Grundgesamtheit an einer fraglichen Erkrankung leiden: In Europa beträgt die Prävalenz von HIV ca. $0.2\%$ in Schwarzafrika z.T. bis zu $5\%$.

Vierfeldertafel

Gehe für eine Vierfeldertafel beim Elisatest von einer Tabelle wie oben aus. Die vier Felder sind «Hat HIV:Test positiv», «Hat HIV:Test negativ», «Hat kein HIV:Test positiv», «Hat kein HIV:Test negativ». Gehe von einer Gesamtpopulation von $10000$ Personen aus und befülle die entsprechenden Felder. Achtung: Man kennt die Spaltentotale. Auf Grund der Spaltentotale kann man dann die Personen in den einzelnen Zellen auf Grund der Fehlerwahrscheinlichkeiten der 1. und 2. Art berechnen. Zählt man nacher die Spalten zusammen, kann man neue Schlüsse ziehen.

Fertige zu diesem Zweck eine Excel-Tabelle an und wähle die Fehlerraten und die Prävalenz als Steuerzellen.

$t$-Test

Grundsätzlich ist auch die Testfrage «Unterscheiden sich zwei Mittelwerte?» denkbar. Zu diesem Zweck wird angenommen, dass «$H_0$: Sie unterscheiden sich nicht» ist. Unter dieser Annahme («Modellwelt») kann nun wieder Fehler 1. und 2. Art berechnet werden, wenn man davon ausgeht, dass die zugrunde liegenden Daten normalverteilt sind.

In Excel wie in R kann dieser Test durchgeführt werden. Die Ausgabe dieses Tests, ist das kleinste möglich Niveau, zu dem $H_0$ gerade noch verworfen wird. Der erhalten Wert heisst auch $p$-Wert. Liegt nun dieser $p$-Wert unterhalb des vorgegeben Signifikanzniveaus von $5\%$, sagt man, dass sich die Mittelwert signifikant unterscheiden.

Lektion 13

Ziele

Auträge

Mögliche Projektfragen

Theorie

Bei der «tea tasting lady» war die Fragestellung, ob sie in Tat und Wahrheit bennenen konnte, ob denn nun die Milch vor dem Tee in der Tasse war oder umgekehrt. Statistisch hat sich das wie folgt formulieren lassen

Man sagt $H_0$ auch Nullhypothese; $H_A$ ist dann die Alternative. Beschränkt man nun den Fehler erster Art (z.B. auf 5%) und sucht sich die entsprechende Anzahl Tassen, die richtig erkennt werden müssen hat man einen Test geschaffen, der überprüft zu, ob die Lady es zufällig kann.

Häufig funktionieren Tests aber auch umgekehrt: Das heisst, man formuliert die Nullhypothese ($p=0.5$) und übergibt die Anzahl der richtig erkannten Tassen. Als Resultat (von Hand für uns noch unmöglich; aus Excel oder R) erhält man dann, die Irrtumswahrscheinlichkeit oder den $p$-Wert. Das ist die Wahrscheinlichkeit, mit welcher eben ein Fehler erster Art begangen wird. Die Nullhypothese wird verworfen, wenn der $p$-Wert kleiner als ein bestimmtes Signifikanzniveau ist (z.B. $p$-Wert kleiner als 5%).

Das Problem der «tea tasting lady» ist nur ein stellvertretendes Problem für die statistische Testproblematik. Man stelle sich vor, man möchte die kognitive Leistung (gemessen in IQ Punkten in einem Test) zweier Gruppen vergleichen. Die eine Gruppe erhält ein koffeinhaltiges Getränke, die andere Gruppe nur ein Getränk ohne Koffein.

Die Frage ist nun offesnichtlich, ob die mittleren IQ-Werte der beiden Gruppen ($\mu_1$ und $\mu_2$) identisch oder verschieden sind.

Klar ist, dass man diese Mittelwerte einfach berechnen könnte, diese vergleichen und dann schliessen, dass die eine Gruppe besser ist als die andere. Das Problem dabei ist aber, dass die erbobenen IQ-Werte auch einer gewissen Schankung unterliegen, resp. Zufall beinhalten. Das heisst, es könnte sein, dass ein Unterschied in den Mittelwerten beobachtet wird, dieser aber rein zufällig zu Stande gekommen ist und nicht «struktureller» Natur ist. Zufällige Unterschiede sind aber nicht von Interesse.

In der Graphik oben sind zwei Situation illustriert: Beide haben Verteilungen haben den gleichen Mittelwert von IQ-Punkten in der “Koffein” resp. “Placebo” Gruppe. Die Wahrscheinlichkeit, dass Resultat in der linken Spalte zufällig zu Stande gekommen ist, scheint aber ungleich grösser.

Das heisst, man formuliert also die Hypothesen $H_0:\mu_1=\mu_2$ und $H_A:\mu_1\neq \mu_2$. Analog zur «tea tasting lady» geht man davon aus, dass kein Unterschied besteht und versucht einen Test dafür zu schaffen.

Diese Idee wird nun durch den $t$-Test formalisiert: Dieser testet (unter gewissen Annahmen), ob ein Unterschied zufällig ist oder nicht. Berichtet wird dann ein $p$-Wert. Ist dieser denn kleiner als das vorgegeben Signifikanziveau, kann man die Nullhypothese von gleichen Mittelwerten ($\mu_1=\mu_2$) verwerfen und es liegt ein Unterschied vor.

Die zentrale Annahme des $t$-Tests ist, dass die beiden zu vergleichenden Grössen normalverteilt sind. Weiter gibt es noch folgende Annahmen, die man spezifieren muss:

Beide Annahmen müssen spezifiert werden, da die Berechnung anders ausfällt.

Begriffe

Begriffe, die festzuhalten sind:

Begriff Kurzbeschrieb Excel R
Mittelwert Arithmetisches Mittel ($\mu$). Man schreibt auch $\bar x$. MITTELWERT() mean()
Anzahl Anzahl ANZAHL() length()
Merkmal Eigenschaften eines Datenpunkts (z.B. Türen, Farbe etc.)
Merkmalsausprägung - und typen Nominal (Farbe), Ordinal (Modell: X1 bis X6), Kardinal (z.B. Kilometer, Preis)
Datenblatt
Pivot-Tabelle
Filtern
Absolute und relative Häufigkeit von $x$ Die absolute Häufigkeit entsprichen dem insgesamten Vorkommen, die relative Häufigkeit ist das Vorkommen in Prozent, d.h., die absolute Anzahl dividiert durch die Gesamtanzahl ANZAHL() oder SUMMEWENN()
Histogramm Illustration von Daten. Die Säulenfläche ist proportional zur relativen Häufigkeit
Varianz Die mittlere quadratische Abweichung, i.e. $\sigma^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2$ VARIANZA() var()
Standardabweichung Wurzel der mittleren quadratischen Abweichung $\sigma=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}$ STABWA() sd()
Median Wert der mittig in der Verteilung aller sortierten Werte ist, resp. zum 50% Prozentrang gehöriger Wert MEDIAN() median()
Signifikanz Prozentzahl welche den Fehler erster Art (eines Tests) beschränkt.
Test Eine statistische Entscheidungsregel, welche überprüft, ob ein Resultat zufällig ist oder nicht.
Nullhypothese Eine Hypothese, die überprüft wird und ggf. zu Gunsten der Alternativhypothese verworfen wird.
Alternativhypothese Eine Hypothese, die zutrifft, wenn die Nullhypothese nicht zutrifft.
$p$-Wert Auch Überschreitungswahrscheinlichkeit oder Signifikanzwert. Wahrscheinlichkeit mit derer ein Fehler erster Art begangen wird.
$\alpha$-Quantil Zum Prozentrang $\alpha$ gehöriger Wert QUANTIL.INKL() quantile(,,type=2)
Modus Der häufigste (die häufigsten) Wert(e)MODUS.EINF()
IQA Interquartilsabstand. Differenz des 1. und 3. Quartils
BoxplotIllustration der Verteilung mit Quartilen boxplot()
Outlier Ausreisser. Eine mögliche Definition für Outlier, sind Werte, die ausserhalb der Whiskers beim Boxplot sind
Lorenzkurve Mass zur Konzentration einer Verteilung. Es wir dabei die relative kumulierte Anzahl gegen die relative kumulierte Summe des Merkmals gezeichnet
Gini-Koeffizient Mass der Konzentration einer Verteilung welches die Fläche misst, welche die Lorenzkurve mit der Winkelhalbierenden einschliesst
Normalverteilung Auch Gaussverteilung. Häufige Verteilung von Merkmalen. Das Histogamm gleich dabei einer Glockenkurve
Standardisieren Zentrierung und Streckung eines Merkmals zu $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$. Es ist dann $\mu_Z=0$ und $\sigma_Z=1$
Korrelation Mass für einen linearen Zusammenhang zwischen $-1$ und $1$ KORREL()cor()
Scatterplot Graphische Darstellung zweier Merkmale als $x$ und $y$-Koordinate Einfügen $xy$…plot(x,y)
BestimmtheismassQuadrat der Korrelation, zur Messung der Stärke eines Zusammenhangs
Erklärende Variable Variable (z.B. Kilometer) welche die abhängige Variable (z.B. Preis) in einer Regression erklären soll
Regression Bestimmung einer linearen Funktion, welche den Zusammenhang zwischen erklärender und abhängier Variable herstellt
Koeffizienten Abschnitt und Steigung der linearen Funktion einer Regression
Dummy-Variabel Variable mit den Ausprägungen $0$ und $1$ um eine nominale Variable in einer Regression zu verwenden