Wir betrachten Abbildungen von $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Speziell von Interesse sind dabei die linearen und affinen Abbildungen.

Lineare Abbildungen

Eine Abbildung $f$ von $\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f$ heisst linear, wenn gilt $$(a) \quad f(a+b)=f(a)+f(b), \quad \forall a,b\in\mathbb{D}_f \qquad \text{und} \qquad (b) \quad f(\alpha\cdot a) = \alpha \cdot f(a), \quad \forall a,\in \mathbb{D}_f \quad\text{und} \quad \forall \alpha\in\mathbb{R}$$

Es ist leicht einzusehen, dass diese beiden Bedingungen für alle quadratischen 2 x 2 Matrizen erfüllt sind. Im Weiteren sei $A$ immer eine 2 x 2 Matrix mit folgender Notation:$$A= **Aufgabe 1** Zeige, dass die Abbildung $f: \;A\cdot \vec{x}=\vec{y}$ eine lineare Abbildung ist.

Satz

Die Bilder der kanonischen Basisvektoren unter der Abbildung $f$ bilden die Spalten der Abbildungsmatrix A. D.h. $$ A=\left(\vec{a}_1, \vec{a}_2 \right)\qquad \vec{a}_1=f(\vec{e}_1) \quad\text{und}\quad \vec{a}_2=f(\vec{e}_2)$$