Wir betrachten Abbildungen von $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Speziell von Interesse sind dabei die linearen und affinen Abbildungen.

Lineare Abbildungen

Eine Abbildung $f$ von $\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f$ heisst linear, wenn gilt $$(a) \quad f(a+b)=f(a)+f(b), \quad \forall a,b\in\mathbb{D}_f \qquad \text{und} \qquad (b) \quad f(\alpha\cdot a) = \alpha \cdot f(a), \quad \forall a,\in \mathbb{D}_f \quad\text{und} \quad \forall \alpha\in\mathbb{R}$$

Es ist leicht einzusehen, dass diese beiden Bedingungen für alle quadratischen 2 x 2 Matrizen erfüllt sind. Im Weiteren sei $A$ immer eine 2 x 2 Matrix mit folgender Notation:$$A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right), \quad \text{mit den beiden Spaltenvektoren} \quad \vec{a}_1 =\left( \begin{array}{cc} a_{11}\\ a_{21}\end{array} \right), \quad \vec{a}_2 =\left( \begin{array}{cc} a_{12}\\ a_{22}\end{array} \right)$$

Aufgabe 1

Zeige, dass die Abbildung $f: \;A\cdot\vec{x}=\vec{y}$ eine lineare Abbildung ist.

Satz

Die Bilder der kanonischen Basisvektoren unter der Abbildung $f$ bilden die Spalten der Abbildungsmatrix A. D.h. $$ A=\left(\vec{a}_1, \vec{a}_2 \right)\qquad \vec{a}_1=f(\vec{e}_1) \quad\text{und}\quad \vec{a}_2=f(\vec{e}_2)$$

Affine Abbildungen

Affine Abbildungen $f$ haben die Struktur $$f: \;A\cdot\vec{x}+\vec{b}=\vec{y} $$ Die obige Struktur stimmt mit der Struktur des IFS beim Barnsley Farn überein. Was machen diese Abbildungen geometrisch, wenn der Vektor $\vec{x}$ auf den Vektor $\vec{y}$ abgebildet wird? Es sind drei Dinge:

1. Eine Streckung / Stauchung: $|\vec{a}_i|>1$ bedeutet eine Streckung, $|\vec{a}_i|<1$ bedeutet eine Stauchung und $|\vec{a}_i|=1$ lässt die Länge konstant.
2. Eine Drehung / Spiegelung / Projektion. Für den Drehwinkel $\varphi$ gilt: $\tan\varphi_1 = \dfrac{a_{11}}{a_{21}}$ und $\tan\varphi_2 = \dfrac{a_{22}}{a_{12}}$
3. Eine Verschiebung um den Vektor $\vec{b}$.

Aufgabe

1. Untersuch die vier Abbildungen des Barnsley Farns. D.h. bestimme die geometrische Bedeutung jeder Abbildung.
2. Wenn du die Bedeutung verstanden hast, dann ändere sie vollüberlegt ab und überprüfe deine Änderung / Erwartung mit einer entsprechenden Implementation.