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--- kurse:efcomputergrafik:kw45 [2019/11/05 11:39]
Marcel Metzler
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 Sei $n$ die Anzahl Punkte, wie viele Fourierkoeffizienten $c_k$ können, dürfen wir berechnen? Dazu müssen wir uns die Formel zur Berechnung der Fourierkoeffizienten genauer anschauen.
 $$c_k=\int_0^1 f(t)\cdot e^{-2 \pi ikt}dt \approx \sum_{j=0}^{n-1}f(j\cdot \Delta t)\cdot e^{-2 \pi ikj\cdot \Delta t}\cdot \Delta t$$
+Relevant ist dabei die komplexe Exponentialfunktion, welche $2\pi$-periodisch ist. Wir berechnen die $c_k$ über eine endliche Summe.
+$$c_k=\sum_{j=0}^{n-1}f(j\cdot \Delta t)\cdot e^{-2 \pi ikj\cdot \Delta t}\cdot \Delta t$$
+Die komplexe Exponentialfunktion als Funktion von $k$ lautet dann
+$$f_j(k)= e^{-2 \pi ikj\cdot \Delta t} \qquad j\in\{0,1,...,n-1\}$$
+Zudem ist $\Delta t = \frac{1}{n-1}$. Setzen wir dies ein, so erkennen wir
+$$f_j(k)= e^{-2 \pi i k j\cdot \frac{1}{n-1}}$$
+Sobald $k=n-1$ ist, wiederholt sich die Funktion. D.h. wir haben eine Periode von $n-1$. Es gilt: $$f_j(k)=f_j(k+\lambda\cdot (n-1)) $$
+Wenn $k_{max}=n-1$ ist, dann würden wir (2n-1) Fourierkoeffizienten berechnen, da unsere $c_k$ von $-(n-1)\leq k \leq (n-1)$ durchlaufen. Dies sind zuviele Fourierkoeffzienten. Es gilt die Regel, dass aus $n$ Datenpunkten höchsten $n$ Fourierkoeffizienten berechnet werden können. Somit liegt der maximale Index $k_{max}$ bei $$k_{max} = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$$. Das sind i.d.R. immer noch zu viele Fourierkoeffizienten.
+**Aufgabe 1**
+ Ermittle für den Datesatz "Daten_ksg.txt" ein optimales $k_{max}$. Optimal ist in diesem Fall individuel und nicht mathematisch exakt und daher nicht eindeutig.
+<hidden>
+<code python Fourier_Rek.py>
+from gpanel import *
+import math
+import cmath
+import csv
+#-----------------------------------------
+# Einlesen der Daten
+#-----------------------------------------
+Koordinaten=[]
+print('Daten lesen Start')
+with open('Daten_ksbg.txt') as csvfile:
+    reader=csv.DictReader(csvfile)
+    for row in reader:
+        Koordinaten.append([float(row['x']),float(row['y'])])
+print('Daten lesen Ende')
+#-----------------------------------------
+# Bild zeichnen
+#-----------------------------------------
+makeGPanel(0,100,0,100)
+move(Koordinaten[0][0], Koordinaten[0][1])
+for ko in Koordinaten:
+    draw(ko[0],ko[1])
+delay(1000)
+clear()
+#-----------------------------------------
+# Berechnen der Fourierkoeffizienten
+# Teil 1: Init.
+#-----------------------------------------
+anzP=len(Koordinaten)
+dt=1/(anzP-1)
+kMax=int(math.floor(anzP/32)) # Datenkomprimierung
+print(str(anzP)+' Datenpunkte')
+print(str(2*kMax+1)+" Fourierkoeffizienten")
+c=[]
+for k in range(2*kMax+1):
+    c.append(complex(0,0))
+f=open('Fourier_Test_ksbg.txt','w')
+#-----------------------------------------
+# Berechnen der Fourierkoeffizienten
+# Teil 2: c_k von -kmax <= k <= kmax
+#-----------------------------------------
+for k in range(-kMax,kMax+1):
+    for i in range(anzP):
+        kshift=k+kMax
+        c[kshift]=c[kshift]+complex(Koordinaten[i][0],Koordinaten[i][1])*cmath.exp(-2*math.pi*k*i*dt*1j)*dt
+    c[kshift]=complex(round(c[kshift].real,2),round(c[kshift].imag,2))
+    f.write(str(c[kshift]) + '\n')
+f.close()
+print('Fourierkoeffizienten berechnet')
+#-----------------------------------------
+# Rekonstruktion des Bildes
+#-----------------------------------------
+setColor('red')
+t=[]
+t.append(0)
+for i in range(anzP-1):
+    t.append(t[i]+dt)
+#---------------------------------------
+# Startpunkt berechnen und Corsor
+# dort abstellen
+#---------------------------------------
+f=0
+for k in range(-kMax,kMax+1):
+    kshift=k+kMax
+    f=f+c[kshift]*cmath.exp(2*math.pi*k*t[0]*1j)
+move(f.real,f.imag)
+f=0
+#---------------------------------------
+# Rest zeichnen
+#---------------------------------------
+for i in range(anzP):
+    for k in range(-kMax,kMax+1):
+        kshift=k+kMax
+        f=f+c[kshift]*cmath.exp(2*math.pi*k*t[i]*1j)
+    draw(f.real,f.imag)
+    delay(10)
+    f=0
+print('Bild gezeichnet')
+</code>
+</hidden>