Herzlich willkommen, Klasse 1gNP!

Wissen

• Definition/Begriff einer Menge, Begriff des Elements einer Menge
• die Menge $\mathbb{N}$ kennen
• Notation für Mengen (aufzählend, beschreibend)
• Sprechweisen (z.B. wie liest man $\{x^2 \mid x \in \mathbb{N}\}$?)
• Begriff der Kardinalität = Mächtigkeit einer Menge
• Begriff der Teilmenge; wie viele Teilmengen eine endliche Menge hat
• Kenntnis von Mengendiagrammen (inklusive Venn-Diagramme)
• Definition der Mengenoperationen (Vereinigung, Schnitt, Differenzmenge, Komplement) sowie deren Veranschaulichung in Mengendiagrammen
• Bedeutung der Symbole $\in, =, \subset, \cup, \cap, \setminus, \overline{A}$

Können

• Zwischen unterschiedlichen Beschreibungen von Mengen wechseln können (Textbeschreibung, aufzählende Form, beschreibende Form, Sprechweise); z. B. “Gib die Menge aller geraden Zahlen in aufzählender/beschreibender Form an”).
• entscheiden können, ob zwei Mengen gleich sind bzw. ob die eine Menge Teilmenge einer anderen Teilmenge ist; dabei können die beiden Mengen explizit gegeben sein oder sie können “beliebig” sein (z.B. “Gilt $A \cap B \subset A$ für alle Mengen $A$ und $B$?”)
• alle Teilmengen einer Menge angeben können
• die Kardinalität/Mächtigkeit von Mengen bestimmen können
• Durchschnitte, Vereinigungen, Differenzmengen, Komplemente gegebener Mengen bestimmen können
• die Definition der Mengenoperationen wiedergeben können
• Mengenterme (so etwas wie $A \cap (B \setminus \overline{C})$) in Venn-Diagramme einzeichnen können und umgekehrt schraffierte Bereiche durch Mengenterme beschreiben können
• gegebene Mengen durch ein Mengendiagramm veranschaulichen (etwa die Mengen rechtwinkliger bzw. gleichseitiger bzw. beliebiger Dreiecke)

Wissen:

• Begriffe und Bezeichnungen der Planimetrie
• Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal; beachte: beim “Konstruieren mit Zirkel und Lineal” ist kein Abmessen von Längen oder Winkeln erlaubt.
• Definition eines (rechtwinkligen = kartesischen) Koordinatensystems; wie Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden.
• Wie Standardgebilde der konstruktiven Geometrie (etwa Mittelsenkrechte, Kreis, …) als geometrische Orte beschrieben werden können (Tabelle in 2.4.1).
• Die Definitionen von Parabel, Ellipse und Hyperbel als geometrische Orte und die zugehörigen Bezeichnungen (Brennpunkt(e), Leitlinie, Asymptote, Scheitel).

Können:

• Konstruktionsbeschreibungen befolgen
• Ordentliche, genügend grosse, übersichtliche Zeichnungen erstellen! (Du bist selbst dafür verantwortlich, die nötigen Zeichenwerkzeuge Zirkel, Lineal, Geodreieck in guter Qualität dabei zu haben.)
• Konstruktionsbeschreibungen aufschreiben (akzeptiert wird neben der im Skript verwendeten Kurzform auch eine normale Beschreibung durch Text); wichtig ist, dass aus den gegebenen Objekten Schritt für Schritt klar ist, was auf welche Weise neu konstruiert wird und ob es einen neuen Namen bekommt; jemand anderes sollte die Beschreibung befolgen können.
• Punkte im Koordinatensystem einzeichnen und die Koordinaten (also $x$- und $y$-Koordinate) von Punkten ablesen.
• Geometrische Objekte mit bestimmten geometrischen Eigenschaften konstruieren bzw. skizzieren (vgl. die meisten Aufgaben im Abschnitt 2.4)

Man beachte, dass alle Konstruktionen, wie aus den Musterlösungen ersichtlich ist, in dem Sinne exakt sind, dass nirgendwo ein Punkt (etwa ein Mittelpunkt eines Kreises) oder ein Radius oder ähnliches “geschätzt”/“geraten” wird. “Geschätzte”/“geratene” Lösungen in der Prüfung geben keine Punkte. Wenn keine Konstruktionsbeschreibung verlangt ist, muss aus der Zeichnung ersichtlich sein, was gemacht wurde.

Wissen

• Rechengesetze für natürliche Zahlen
• Was es bedeutet, dass ein Rechenzeichen kommutativ bzw. assoziativ ist
• Potenz-vor-Punkt-vor-Strich-Regel
• Division mit Rest (= ganzzahlige Division): Ganzzahlquotient, Rest der Division
• Definition von Teilern und Vielfachen
• Teilbarkeitsregeln durch 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11
• Definition von ggT und kgV
• Definition einer Primzahl
• Algorithmus: Sieb des Eratosthenes
• Satz von Euklid (Unendlichkeit der Menge der Primzahlen) inklusive Beweis
• Definition von Potenzen inklusive zugehörige Begriffe ($e$-te Potenz, Basis, Exponent)
• Potenzgesetze inklusive Beweis
• Satz über die Primfaktorzerlegung (PFZ) inklusive zugehörige Begriffe (Primfaktor)
• Algorithmus zur Berechnung von ggT und kgV mit Hilfe der Primfaktorzerlegung
• $a \cdot b = ggT(a,b) \cdot kgV(a,b)$
• Gaußsche Summenformel inklusive Beweis

Können

• Die Aussagen aller behandelten Sätze kennnen und wiedergeben können (Voraussetzungen, d.h. was ist gegeben? was gilt dann?)
• Beweise der folgenden Sätze wiedergeben können: Satz von Euklid (muss nicht so ausführlich wie im Skript sein, jedoch muss die Hauptidee klar sein: Warum das Produkt der bekannten Primzahlen plus Eins); Potenzgesetze; evtl. Gaußsche Summenformel
• Berechnungen durchführen, dabei Potenz-vor-Punkt-vor-Strich-Regel beachten
• entscheiden können, ob ein Rechenzeichen kommutativ bzw. assoziativ ist
• Potenzgesetze anwenden können
• “falsche Rechengesetze” durch Gegenbeispiele wiederlegen können
• Teiler und Vielfache einer natürlichen Zahl bestimmen
• Teilbarkeitsregeln anwenden können
• ggT und kgV ausrechnen können
• Anwendungen der PFZ: Entscheiden, ob eine Zahl eine Quadrat- oder Kubizahl oder höhere Potenz ist; die Teiler einer Zahl bestimmen; Anzahl der Teiler einer Zahl bestimmen; ggT und kgV bestimmen
• die obengenannten Algorithmen durchführen können (Sieb des Eratosthenes und ggT und kgV per PFZ)
• Die Formel $a \cdot b = ggT(a,b) \cdot kgV(a,b)$ anwenden können (vierte Zahl bestimmen, falls drei Zahlen bekannt)
• Gaußsche Summenformel anwenden können, einfache Variationen davon

Wissen:

• Eigenschaften von Winkeln (S. 9 im Skript) inklusive Begriffe
• Mathematisch positiver Drehsinn
• Benennung von Winkeln und Kreisbögen (math. pos. Drehsinn relevant)
• Standardbezeichnungen im Dreieck (S. 9 im Skript), mathematisch positiven Drehsinn beachten bei der Benennung der Eckpunkte
• Winkel und Seitenlängen in gleischschenkligen bzw. gleichseitigen Dreiecken
• Satz von Thales inklusive Beweis
• Umkehrung des Satzes von Thales (ohne Beweis, d.h. Beweis muss nicht wiedergegeben werden können)
• Umformulierung von Thales + Umkehrung als Gleichheit von Musterlösungen
• Begriffe: Zentriwinkel, Peripheriewinkel, Sehne-Tangente-Winkel
• Kreiswinkelsätze (ohne Beweis)
• Ortsbogen über einer Strecke zu einem Winkel
• Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes (ohne Beweis)
• Peripheriewinkelsatz als Gleichheit von Mengen

Können:

• Die Aussagen aller behandelten Sätze kennnen und inklusive sinnvoller illustrierender Skizze wiedergeben können (Voraussetzungen, d.h. was ist gegeben? was gilt dann?)
• Beweise der folgenden Sätze wiedergeben können: Satz von Thales
• Ordentliche, genügend grosse, übersichtliche Zeichnungen erstellen! (Du bist selbst dafür verantwortlich, die nötigen Zeichenwerkzeuge Zirkel, Lineal, Geodreieck in guter Qualität dabei zu haben.)
• Hand-Skizzen zur Ideenfindung erstellen
• Winkel ermitteln können (vgl. Aufgaben A22-A29)
• Satz von Thales und Umkehrung anwenden können (etwa zur Konstruktion von Tangente durch einen Punkt an einen Kreis oder von Tangenten an zwei Kreise)
• den Ortsbogen zu einem gegebenen Winkel konstruieren können (Aufgabe A35)
• Kreiswinkelsätze anwenden können (inklusive Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes) (vgl. Aufgaben ab A36)
• Lösungen zumindest stichwortartig begründen können

Man beachte, dass alle Konstruktionen, wie aus den Musterlösungen ersichtlich ist, in dem Sinne exakt sind, dass nirgendwo ein Objekt (etwa eine Tangente) oder ähnliches “geschätzt”/“geraten” wird. “Geschätzte”/“geratene” Lösungen in der Prüfung geben keine Punkte. Wenn keine Konstruktionsbeschreibung verlangt ist, muss aus der Zeichnung ersichtlich sein, was gemacht wurde.

Wissen

• Gaußsche Summenformel inklusive Beweis
• Bedeutung der Zeichen $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
• Inklusionen $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$
• Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division) rationaler Zahlen
• geometrische Interpretation von Addition, Multiplikation und Subtraktion ($a-b$ = Pfeil von $b$ nach $a$).
• Kürzen und Erweitern
• vollständig gekürzter Bruch
• gleichnamige Brüche
• Gegenzahl, Kehrwert
• Betrag (geometrische Bedeutung: $|a|$ = Länge des Pfeils = Abstand vom Ursprung; $|a-b|$ = Länge des Verbindungspfeils = Abstand von $a$ und $b$).
• Potenzsummenformel (= $n$-te Partialsumme der geometrischen Reihe) inklusive Beweis

Können

• Mit rationalen Zahlen rechnen können (inklusive Beträge, Doppelbrüche, Potenzen)
• Ausdrücke klammerfrei schreiben können (insbesondere Minuszeichen «auf Summanden in Klammer verteilen»)
• Brüche vollständig kürzen können
• Multiplikation und Addition geometrisch erklären können
• Gleichungen lösen können (von ähnlicher Schwierigkeit wie in den Aufgaben)
• rationale Zahlen der Grösse nach ordnen können
• Gaußsche Summenformel anwenden können und den Beweis wiedergeben können
• Potenzsummenformel anwenden können und den Beweis wiedergeben können

Falls jemand Strahlensätze mit dem Lernnavi üben will: Code RA8VZ (und Kopien davon: ARE5T, JA29A).

Wissen

• Verhältnis, Verhältnisgleichung
• Was eine Strahlensatzfigur ist (zwei Möglichkeiten, Zentrum zwischen Parallelen oder Ähnlichkeit)
• 1. und 2. Strahlensatz
• Umkehrung des 1. Strahlensatzes (zum Zeigen von Parallelität von Geraden)
• Anwendungen des Strahlensatzes (wie in den Aufgaben)
• Schwerpunktsatz
• innerer und äusserer $\frac pq$-Teilungspunkt einer Strecke $[XY]$
• Satz über die Winkelhalbierenden inklusive Umkehrung
• Definition des Apollonioskreises
• Satz des Apollonios
• Die Aussagen der Sätze (unabhängig von der Benennung von Seiten und Punkten) wirklich verstehen! Nicht nur Auswendiglernen.

Können

• Aufgaben zu Verhältnissen wie im entsprechenden Abschnitt im Skript lösen können.
• Geometrie-Aufgaben wie im Skript lösen können: Alle oben aufgeführten Sätze (inklusive Umkehrung, falls sie gilt) anwenden können (insbesondere Strahlensatzfiguren erkennen und darin “gleiche Verhältnisse” rasch erkennen; Apollonioskreis bei Konstruktionsaufgaben einsetzen können, ebenso Schwerpunktsatz und Winkelhalbierendensatz).
• Alle oben aufgeführten Sätze wiedergeben können.
• Beide Teilungspunkte konstruieren können.
• Apollonios-Kreis konstruieren können.
• Verhältnisgleichungen umschreiben können, z. B. aus dem Verhältnis $\frac xy$ das Verhältnis $\frac{x+y}y$ berechnen können.

Bemerkung Wissen und Können bezieht sich hier natürlich nur auf das neu erworbene Wissen und Können. Zuvor erworbenes Wissen und Können wird stets vorausgesetzt.