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--- kurse:efcomputergrafik:kw46 [2019/11/11 20:55]
Marcel Metzler
+++ kurse:efcomputergrafik:kw46 [2019/11/13 19:20] (current)
Marcel Metzler [Orthogonale Projektion]
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-====Basen, Vektorräume und Unterräume====
+====Basen====
 Im Sinne einer kleinen Vorbereitung auf die nächsten Themen betrachten wir diese Woche einige Begriffe der linearen Algebra (LinAlg).
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   * Reelle Vektorräume $R^n$
-**Fragen**
+**Aufgabe**
   * Bei allen dreien kommt der Parameter $n$ vor. Was könnte $n$ bedeuten?
   * Wie sieht ein allgemeines Element aus diesen drei Bereichen aus?
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   - $p_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $a_n\neq 0$\\
   - $T_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot \cos (ix) + b_i \cdot \sin (ix), \quad$ mit $a_i,b_i \in\mathbb{R}$ und $a_n \lor b_n \neq 0$
-  - $\mathbb{R}^n=\sum_{i=1}^n a_i\cdot \vec{e}_i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $\vec{e}_i=\left( \begin{array}{c} 0 \\...\\1\\...\\0  \end{array} \right)$, d.h. mit einer $1$ in der $i$-ten Zeile.
+  - $\mathbb{R}^n:\; \vec{v}=\sum_{i=1}^n a_i\cdot \vec{e}_i, \quad$ mit $a_i\in\mathbb{R}$ und $\vec{e}_i=\left( \begin{array}{c} 0 \\...\\1\\...\\0  \end{array} \right)$, d.h. mit einer $1$ in der $i$-ten Zeile.
 </hidden>
-**Fragen**
+**Aufgabe**
   * Aus welchen Grundbausteinen werden diese Elemente zusammengesetzt?
 <hidden>
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   * Die **Vektoren** $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ und $\vec{e}_z$ heissen die kanonischen Basisvektoren und bilden eine Basis des $\mathbb{R}^3$.
-**Frage**
+**Aufgabe**
   * Gibt es mehr als eine Basis für den Raum, oder die Ebene?
 <hidden>
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 ===Orthogonale Basen===
-Sind die Basisvektoren paarweise senkrecht zueinander, dann sprechen wir von einer orthogonalen Basis. Orthogonal bedeutet $$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$
+Sind die Basisvektoren paarweise senkrecht zueinander, dann sprechen wir von einer orthogonalen Basis. Orthogonal bedeutet: $$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$
+**Aufgabe**
+  * Konstruiere eine eigene orthogonale Basis des $\mathbb{R}^3$.
+Sind die Beträge der Basisvektoren eins, so sprechen wir von einer normierten Basis. Orthogonal und normiert zusammen führt zum Begriff der Orthonormalbasis.
+**Aufgabe**
+  * Konstruiere eine eigene Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^3$.
+====Orthogonale Projektion====
+Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$. Gesucht ist der Anteil von $\vec{v}_2$, welcher orthogonal zu $\vec{v}_1$ verläuft.
+{{:kurse:efcomputergrafik:skalar_p.png?400|}}
+Dazu bestimmen wir den Anteil von $\vec{v}_2$ in Richtung von $\vec{v}_1$ und subtrahieren diesen von $\vec{v}_2$. Es gilt:
+$$\vec{v}_{21P}=\alpha \cdot \vec{v}_1 \qquad \text{und} \qquad \vec{v}_{21O}=\vec{v}_2-\vec{v}_{21P}$$ Wegen der Orthogonalität gilt weiter $$\vec{v}_{21O}\cdot \vec{v}_1 =0 $$ setzen wir ein erhalten wir
+$$\left( \vec{v}_2-\alpha \cdot \vec{v}_1 \right) \cdot \vec{v}_1 =0 $$
+Damit gilt für $\alpha$
+$$\alpha = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1}= \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|^2}$$
+und damit gilt für $\vec{v}_{21O}$
+$$\vec{v}_{21O}=\vec{v}_{2} - \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|^2} \cdot \vec{v}_1$$
+===Orthogonale Basis===
+Seien die Vektoren $\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}, \; \vec{d}$ eine Basis des $\mathbb{R}^4$. Dann können wir schrittweise durch orthogonale Projektion eine Orthogonalbasis berechnen.
+  - $\vec{a}$ bleibt
+  - $$\vec{b'}=\vec{b}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a}$$
+  - $$\vec{c'}=\vec{c}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a} - \frac{\vec{b'}\cdot\vec{c}}{|\vec{b'}|^2} \cdot \vec{b'}$$
+  - $$\vec{d'}=\vec{d}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{d}}{|\vec{a}|^2} \cdot \vec{a} - \frac{\vec{b'}\cdot\vec{d}}{|\vec{b'}|^2} \cdot \vec{b'} - \frac{\vec{c'}\cdot\vec{d}}{|\vec{c'}|^2} \cdot \vec{c'}$$
+  - allgemein: $$\vec{v}'_i=\vec{v}_i- \sum_{k=1}^{i-1}\frac{\vec{v}_k\cdot\vec{v}_i}{|\vec{v}_k|^2} \cdot \vec{v}_k, \quad \text{für }i\in\{2,3,\dots,n\}$$
+  - bleibt noch die Normierung mit $$\vec{e}_a=\frac{1}{|\vec{a}|}\cdot \vec{a} $$
+**Aufgabe**
+Implementiere obigen Algorithmus in Python für eine Basis vom $\mathbb{R}^3$ und $\mathbb{R}^4$.