Wir werden im folgenden Punkte im Raum mit deren Ortsvektoren gleichsetzen und als mathematische Objekte nicht mehr unterscheiden, sondern einfach als Elemente von $\mathbb{R}^3$, die Menge aller geordneten Tripel von reellen Zahlen betrachten.

Gegeben ist eine Menge $V$ von (abstrakten) “Vektoren”, d.h. Dinge, die man addieren und skalieren (mit einer reellen Zahl multiplizieren) kann. Typische Beispiele:

• Vektoren (aus der Vektorgeometrie)
• Funktionen (z.B. Polynome)

Eine Linearkombination von “Vektoren” ist eine Summe von reellen Vielfachen dieser “Vektoren”: $$ r_1 v_1 + r_2 v_2 + \ldots r_n v_n \qquad \qquad \text{mit } r_i \in \mathbb{R} \text{ und } v_i \in V $$

Beispiele:

• Die Menge aller Linearkombinationen der Einheitsvektoren ergibt alle möglichen Vektoren. Man sagt, die Einheitsvektoren bilden eine Basis.
• Die Menge aller Linearkombinationen der Polynome $1,\, x,\, x^2$ ist die Menge aller möglichen Polynome bis und mit 2. Grades.

Ein konvexe Kombination ist eine Linearkombination mit der zusätzlichen Bedingung, dass die Koeffizienten $r_i$ die Bedingungen $\sum_i r_i =1$ und $r_i \in [0,1]$ erfüllen.

Seien $\vec u$ und $\vec v$ Vektoren im Raum. Welchen Punktemengen entspricht

a) die Menge aller Linearkombinationen von $\vec u$ und $\vec v$?

b) die Menge aller konvexen Kombinationen von $\vec u$ und $\vec v$?

c) die Menge aller Linearkombinationen von $\vec v$?

d) die Menge aller konvexen Kombination von $\vec v$?

e) die Menge aller konvexen Kombinationen von 3 Vektoren im Raum?

Beweisen Sie dass

• die Linearkombination von Linearkombinationen eine einfache Linearkombination ist.
• die konvexe Kombination von konvexen Kombinationen eine einfache konvexe Kombination ist.

Eine Bezierkurve $n$-ten Grades ist definiert durch $n+1$ Kontrollpunkte. Die einzelnen Punkte auf der Kurve lassen sich durch einen Parameter $t \in [0,1]$ parametrieren.

Die Bezierkurve vom Grad 1 mit den Kontrollpunkten $p_0$ und $p_1$ entspricht der Menge aller konvexen Kombinationen der beiden Punkte.

Bestimmen Sie eine Parametrierung dieser “Kurve”: $$ p(t) = \ldots =: I(t, p_0, p_1) $$ Die Funktion $I$ interpoliert linear zwischen $p_0$ und $p_1$ für $t \in [0,1]$.

Programmieren Sie eine Animation (ca. 50 Schritte), wie der Punkt $p(t)$ läuft.

Verwenden Sie dazu die bereitgestellte Vector-Bibliothek (die die gleichen Methoden wie die entsprechende Bibliothek in Blender zur Verfügung stellt). Starten Sie Ihr Programm wie folgt.

Für den Umgang mit der Klasse “Vector” studieren Sie bitten den Code am Ende der Datei vector.py (der nur dann ausgeführt wird, wenn die Datei vector.py direkt ausgeführt wird, nicht aber wenn die Datei mit “import” eingebunden wird.)

interpolation.py

from gpanel import *
from vector import Vector
# Die Datei vector.py muss im gleichen Verzeichnis wie diese Programm liegen.
 
makeGPanel(0,2,0,2)
 
#
# Hier fehlt die Definition einer oder mehrerer Funktionen
#
 
n = 100
enableRepaint(False)  #Während dem Zeichnen nichts anzeigen
intpts = [Vector((0.1,0.3,0)), Vector((1.8,1.4,0))]  # Liste der zu interpolierenden 3D-Vektoren
for i in range(n+1):
    t=n/i
    clear()  # Bild löschen
    #
    # Punkt p(t) berechnen und Situation schön anzeigen
    #
    repaint()  # Gezeichnetes anzeigen (vermindert flackern)
    delay(60)

Gegeben sind 3 Kontrollpunkte $p_0$, $p_1$, $p_2$. Der Kuvenpunkt $p(t)$ wird wie folgt berechnet:

• Man berechne $q_i(t) = I(p_i, p_{i+1},t)$ für $i\in \{0,1\}$. Und daraus
• $p(t) = I(q_0, q_1, t)$

Zeigen Sie, dass $p(t)$ immer im Dreieck $p_0$, $p_1$, $p_2$ liegt.

Begründen Sie plausibel, wie die Tangenten in den Punkten $p(0)$, $p(0.5)$ und $p(1)$ liegen.

Programmieren Sie eine Animation (ca. 50 Schritte), wie der Punkt $p(t)$ läuft.

Gegeben sind 4 Kontrollpunkte $p_i$ mit $i\in\{0,1,2,3\}$. Der Punkt $p(t)$ wird wie folgt berechnet:

Programmieren Sie eine Animation (ca. 50 Schritte), wie der Punkt $p(t)$ läuft.

Gegeben sind $n+1$ Kontrollpunkte $p_i$ mit $i \in \{0,1,\ldots, n,n+1\}$.

Die entsprechende Animation kann für beliebige $n$ sehr elegant rekursiv programmiert werden.

Bestimmen Sie die algebraische Form der Bezierkurven von Grad 1,2,3 (und $n$, wer möchte), und zwar als konvexe Kombination der Kontrollpunkte mit den Koeffizienten als Polynome in $t$.