Bestimmen Sie die algebraische Form der Bezierkurven von Grad 1,2,3 (und $n$, wer möchte), und zwar als konvexe Kombination der Kontrollpunkte mit den Koeffizienten als vollständig faktorisierte Polynome in $t$.

Kontrollpunkte $\vec p_0$ bis $\vec p_n$: $$ \vec p(t) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (1-t)^{n-i} \cdot t^i \cdot \vec p_i $$

Für Grad 3: $$ \vec p(t) = (1-t)^3 \cdot \vec p_0 + 3(1-t)^2t \cdot \vec p_1 + 3 \cdot (1-t)t^2 \cdot \vec p_2 + t^3 \cdot \vec p_3 $$

$$ v(t) = -3(1-t)^2 \cdot \vec p_0 + 3(1-t)(1-3t)\cdot \vec p_1 + 3t(2-3t) \cdot \vec p_2 + 3t^2 \cdot \vec p_3 $$

Man findet $\vec v(0) = 3(\vec p_1 - \vec p_0)$, also Tangente parallel zu $P_0P_1$. Analog mit $\vec v(1)$.

Gesucht ist eine kubische Funktion durch 2 gegebene Punkte $P=(0,y_P)$ und $Q=(1,y_Q)$ mit gegebenen Tangentensteigungen $m_P$ und $m_Q$ in diesen Punkten.

Variante 1: Ansatz $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$, Gleichungssystem aufstellen, lösen.

Variante 2: Anstatt die kanonische Basis $1,x,x^2,x^3$ zu verwenden, soll eine Basis mit der Eigenschaft gefunden werden, dass von folgenden Werten immer nur genau einer Eins und die restlichen Null sind: $b(0), b(1), b'(0), b'(1)$. Die gesuchte Lösung ergibt sich dann als einfache Linearkombination mit den gegebenen Koeffizienten.

Dokumentation:

• Intro: https://www.w3schools.com/graphics/svg_path.asp
• Bisschen ausführlicher: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/SVG/Tutorial/Paths
• Specs: https://www.w3.org/TR/svg-paths/

Ziel:

SVG-Datei mit Inkscape erstellen → Python Programm das die Pfade ausliest → Konvertieren in Polygonzug → Umrechnen in Plotter-Koordinaten → Plotter Befehle → WhiteBoard verschönern.

Wäre cool:

• Umgang mit Inkscape (erstellen von Pfaden)
• Analyse der SVG-Datei
  • Welche Pfad-Element müssen implementiert werden, wie funktionieren diese?
  • Text-Analyse, Konvertierung der Daten in Python
• Bezier-Klasse erstellen (für Kurven von Grad 1 bis 3).
  • Initialisierung
  • Zeichnen (Validierung)
  • Interpolation
• Pfad-Klasse erstellen
  • Als Sammlung von Bezier-Kurven
• Plotter Koordinatensystem analysieren
  • Geometrische Definition
  • Ausmessen im Tech-Lab
  • Nullpunkt festlegen
• Plotter Sprache definieren
  • Koordinaten
  • Stift auf/ab
• Arduino-Code anpassen

Nützliche Tastenkombinationen:

• F1: Auswahlmodus (zum kopieren, löschen, verschieben, rotieren)
• F2: Edit-Modus (Manipulation der Pfadelemente.

Pfad-Manipulationen:

• Shift-Ctrl-C: Object to Path (Kreise, Rechtecke, Text wird erst *nicht* als Pfad gespeichert.) Bei Text ist danach noch eine Gruppe aufzulösen.
• Ctrl-K: Combine (mehrere Pfade in einen Pfad zusammenfassen).

Der Nullpunkt befindet sich bei den Radien $r_1=r_2=1445$ (in mm). Pro Motorschritt verändern sich die Radien um $\approx 0.0157029$.

Der G-Code bezieht sich direkt auf die Motorenschritte (was eigentlich gerade nicht der Sinn von G-Code ist).

Nur G1 (lineare Interpolation) ist implementiert:

• G1 X-400 Y800 (Gehe zur absoluten Position -400 Schritte (Motor links) und +800 Schritte (Motor rechts).
• G1 Z0 (Stift hoch, nicht zeichnen)
• G1 Z1 (Stift runter, zeichnen)

Nach jedem Kommando muss auf ein 'OK\n' gewartet werden.