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--- lehrkraefte:blc:informatik:glf4-23:relative-und-absolute-bezuege [2024/03/23 23:42]
Olaf Schnürer [Varianten (Expert)]
+++ lehrkraefte:blc:informatik:glf4-23:relative-und-absolute-bezuege [2024/04/23 22:00] (current)
Olaf Schnürer [Varianten (Expert)]
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 <WRAP todo>
-Erstellen Sie folgende Multiplikationstabelle mit halb-absoluten Bezügen:
+Erstellen Sie folgende Multiplikationstabelle mit halb-absoluten Bezügen.
+Die Idee ist, dass Sie **nur eine einzige Formel** im ersten Ergebnisfeld eingegben. Diese kopieren Sie dann auf die ganze Zeile.
+Danach kopieren Sie die ganze Zeile nach unten, um die Tabelle zu vervollständigen.
 {{:lehrkraefte:blc:informatik:glf4-20:simulation:pasted:20210502-165542.png}}
@@ Line 24: / Line 27: @@
 Besonders interessant ist natürlich die Wahrscheinlichkeit $p_{m,n}$, d.h. die Wahrscheinlichkeit, nach dem Kauf von $m$ Bildern das Album komplett gefüllt zu haben.
+Zusammenfassung der Notationen:
+| $n$ | Anzahl Plätze im Sammelalbum (bzw. Anzahl verschiedener Klebebilder insgesamt). |
+| $m$ | Anzahl gekaufter Bilder, kann doppelte enthalten. |
+| $k$ | Anzahl unterschiedlicher Bilder, die man erwischt hat. Dabei gilt immer $k \leq m$ und $k \leq n$. |
+| $p_{m,k}$ | Wahrscheinlichkeit, nach dem Kauf von $m$ Bildern genau $k$ unterschiedliche Bilder zu besitzen. |
 ==== Berechnung von $p_{m,k}$ ====
@@ Line 30: / Line 39: @@
 Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen stellen wir erst mal fest, dass
 $$
-p_{1,1}=1 \text{ und } p_{1,k}=0  \text{ für }k > 1
+p_{1,1}=1 \text{ und } p_{1,k}=0  \text{ wenn }k > 1
 $$
@@ Line 42: / Line 51: @@
 Damit können wir den Baum zeilenweise berechnen, bzw. die Wahrscheinlichkeiten für $m$ aus den Wahrscheinlichkeiten für $m-1$.
+$$
+p_{m,k} = p_{m-1,k}\cdot \frac{k}{n} + p_{m-1,k-1}\cdot \frac{n-(k-1)}{n}
+\qquad \text{ mit } p_{m,0}=0 \text{ wenn } m\geq 1
+$$
 ==== Empfohlenes Tabellen-Layout ====
@@ Line 52: / Line 66: @@
   * Zum Füllen mit Nullen geben Sie in zwei benachbarten Zellen eine Null ein, markieren Sie diese und kopieren Sie dann (wird nur eine Zelle markiert, wird diese beim Kopieren hochgezählt).
-Beantworten Sie folgende Fragen, einmal für $n=20$, einmal für $n=200$.
+Beantworten Sie folgende Fragen, einmal für $n=20$, einmal für $n=200$ (oder $n=707$ die Anzahl Bilder im aktuellen Fussball-Album).
   * Wie viele Bilder muss man kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit eines vollen Albums
@@ Line 119: / Line 133: @@
 {{lehrkraefte:blc:informatik:glf4-20:simulation:2alben-200.svg}}
+</hidden>
+<hidden Python-Programm, per Simulation, variable Anzahl Alben>
+<code python sammelalben-simulation.py>
+import random
+import matplotlib.pyplot as plt
+n = 200
+anzahl_alben = 3
+anzahl_versuche = 10000
+liste_noetiger_kaeufe = []
+for v in range(anzahl_versuche):
+    if v % 1000 == 0:
+        print(f'Versuch {v}')
+    liste_anzahl_bilder = [0 for _ in range(n)]
+    kaeufe = 0
+    while min(liste_anzahl_bilder) < anzahl_alben:
+        kaeufe += 1
+        bild_nummer = random.randrange(n)
+        liste_anzahl_bilder[bild_nummer] += 1
+    while len(liste_noetiger_kaeufe) < kaeufe + 1:
+        liste_noetiger_kaeufe.append(0)
+    liste_noetiger_kaeufe[kaeufe] += 1
+print(liste_noetiger_kaeufe)
+liste_noetiger_kaeufe_summiert = []
+summe = 0
+for i in range(len(liste_noetiger_kaeufe)):
+    summe += liste_noetiger_kaeufe[i]
+    liste_noetiger_kaeufe_summiert.append(summe / anzahl_versuche)
+xwerte = list(range(len(liste_noetiger_kaeufe)))
+plt.bar(xwerte, liste_noetiger_kaeufe)
+plt.xlabel(f"x = Anzahl der Käufe, bis {anzahl_alben} Alben voll")
+plt.ylabel(f"y(x) = Anzahl der Experimente, bei denen x Käufe nötig waren.")
+plt.show()
+p = 0
+while p < 1:
+    i = 0
+    while liste_noetiger_kaeufe_summiert[i] < p:
+        i += 1
+    print(f'Man muss (laut Simulation) {i} Bilder kaufen, um {anzahl_alben} Alben mit Wahrscheinlichkeit {p:.1f} zu füllen.')
+    p += 0.1
+plt.plot(liste_noetiger_kaeufe_summiert)
+plt.xlabel(f"x = Anzahl der Käufe")
+plt.ylabel(f"p(x) = Wahrscheinlichkeit, dass {anzahl_alben} Alben voll.")
+plt.show()
+</code>
 </hidden>