Adventsstern aus einem Quadrat, nur falten und einscheiden (ergibt den Winkel $\alpha=22.5^\circ$, siehe unten). Der daraus enstehende Stern ist unten nicht flach.

Die Frage ist, wie muss das Schnittmuster sein, damit ein unten flacher Stern entsteht (damit man diese z.B. zusammenkleben oder auf ein Fenster kleben kann).

Wir führen folgende (ziemlich beliebige) Notation ein:

• $Z$ ist das Zentrum vom Stern
• $A$ ist ein Punkt auf einer Zacke vom Stern
• $C$ ist der Punkt, bis wohin eingeschnitten wird.
• Der Winkel $\alpha$ kann gewählt werden.
• $n$ sind die Anzahl Zacken des Sterns.
• Der Winkel im Zentrum ist $\frac{180^\circ}{n}$, weil der Stern rotationssymmetrisch sein soll.

Die Frage ist, was passiert mit der Figur im 3-dimensionalen Raum, wenn der Stern gefaltet wird. Folgende Einsichten sind wichtig:

• Von oben betrachtet, erscheinen die Winkel bei Z immer gleich gross.
• Wir wollen einen unten flachen Stern. Darum ist es vorteilhaft, beim Auffalten des Stern die Strecke $AC$ zu fixieren und den Rest des Sterns um diese Achse zu drehen.
• Betrachtet man die Drehung um $AC$ von oben, bleiben $A$ und $C$ liegen, und $Z$ bewegt sich auf der Senkrechten zu $AC$ durch $Z$.
• Wir suchen $Z'$ also so, dass der Winkel $AZ'C$ wieder $\frac{180^\circ}{2}$ ist.

• D.h. $Z'$ liegt auf dem Ortsbogen, der einfach dem Umkreis von $AZC$ entspricht (darin sind die Winkel dann Peripheriewinkel über der Sehne $AC$).

• Das Dreieck $AZ'C$ entspricht der Ansicht von oben einer halben Zacke des gefalteten Sterns. Damit sieht man auch den halben «Zackenwinkel» $\beta$.
• Der Teil vom Papier, der unten am Stern umgefaltet wird, muss also den Winkel $2\beta$ zur Strecke $AC$ bilden, damit der Stern möglichst einfach geklebt werden kann.

Sie finden hier eine Anleitung, um die Parameter beliebiger Sternvorlagen (d.h. beliebige Winkel $\alpha$ und Anzahl Zacken $n$) in GeoGebra zu konstruieren.

https://www.geogebra.org/calculator/vff75kwe