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--- lehrkraefte:blc:math:vektoranalysis:jahrmarkt [2018/09/27 15:54]
Ivo Blöchliger [Einige Bahnen der Olma 2017]
+++ lehrkraefte:blc:math:vektoranalysis:jahrmarkt [2018/09/28 14:17] (current)
Ivo Blöchliger [Berg und Tal Bahn]
@@ Line 18: / Line 18: @@
 ====== Einige Bahnen der Olma 2017 ======
 ==== POV-Transformation für ein Koordinatensystem ====
-Folgendes Macro erlaubt es uns, Gewohnte Objekt in einem eigenen Koordinatensystem zu platzieren, definiert durch Urpsrung und die drei Einheitsvektoren:
+Folgendes Macro erlaubt es uns, gewohnte Objekt in einem eigenen Koordinatensystem zu platzieren, definiert durch Urpsrung und die drei Einheitsvektoren:
 <code povray>
 #macro ksysttrans(oi, xi, yi, zi)
@@ Line 28: / Line 28: @@
 </code>
 Zu verwenden z.B. wie folgt:
-<code>
+<code povray>
 // Stellt die Box an folgenden Koordinaten im Koordinatensystem K3 dar
 // (definiert durch o3, x3, y3, z3).
@@ Line 128: / Line 128: @@
 #end // while
 </code>
+Maxima Code (für die Ableitungen)
+<code>
+/* K0 */
+o0:[0,0,0];
+x0:[1,0,0];
+y0:[0,1,0];
+z0:[0,0,1];
+alpha1:15/180*%pi;
+h1:2;
+/* K1 schiefe Ebene */
+o1:o0+h1*z0;
+x1:-sin(alpha1)*z0+cos(alpha1)*x0;
+y1:y0;
+z1:cos(alpha1)*z0+sin(alpha1)*x0;
+/* Parameter K2 */
+omega2:12/60*2*%pi;
+alpha2:omega2*t;
+/* K2, drehende Ebene */
+o2:o1;
+x2:cos(alpha2)*x1+sin(alpha2)*y1;
+y2:-sin(alpha2)*x1+cos(alpha2)*y1;
+z2:z1;
+/* Parameter K3 */
+r3:5;
+alpha3:5/360*2*%pi;
+f3:-alpha3*cos(3*alpha2);
+o3:o2;
+x3:cos(f3)*x2+sin(f3)*z2;
+y3:y2;
+z3:-sin(f3)*x2+cos(f3)*z2;
+/* Passagier */
+define(p(t), o3+r3*x3);
+define(v(t), diff(p(t),t));
+define(a(t), diff(v(t),t)-9.81*z0);
+/* Betraege der Geschwindigkeit und Beschleunigung */
+define(aa(t), sqrt(a(t).a(t)));
+define(vv(t), sqrt(v(t).v(t)));
+plot2d([vv(t),aa(t), a(t).[0,0,1]],  [t, 0,10],
+[title, "Geschwindigkeit und Beschleunigung"],
+[legend, "v(t)", "a(t)", "az(t)"]);
+</code>
+Das Bild dazu:
+{{ :lehrkraefte:blc:math:vektoranalysis:bergundtal-v-a.svg |}}
+$$\left[ 5\,\left(\cos \left({{\pi}\over{12}}\right)\,\cos \left({{2
+ \,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\cos \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t
+ }\over{5}}\right)}\over{36}}\right)-\sin \left({{\pi}\over{12}}
+ \right)\,\sin \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)
+ }\over{36}}\right)\right) , 5\,\sin \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}
+ \right)\,\cos \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)
+ }\over{36}}\right) , 5\,\left(-\cos \left({{\pi}\over{12}}\right)\,
+ \sin \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}
+ \right)-\sin \left({{\pi}\over{12}}\right)\,\cos \left({{2\,\pi\,t
+ }\over{5}}\right)\,\cos \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5
+ }}\right)}\over{36}}\right)\right)+2 \right] $$
+Beschleunigung:
+$$\left[ 5\,\left({{\pi^4\,\sin \left({{\pi}\over{12}}\right)\,\sin ^
+\left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin \left({{\pi\,\cos \left({{
+\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}\right)}\over{900}}-{{2\,\pi^3
+ \,\cos \left({{\pi}\over{12}}\right)\,\sin \left({{2\,\pi\,t}\over{5
+ }}\right)\,\sin \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin \left({{\pi
+ \,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}\right)}\over{75
+ }}+{{\pi^3\,\cos \left({{\pi}\over{12}}\right)\,\cos \left({{2\,\pi
+ \,t}\over{5}}\right)\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin
+ \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}
+ \right)}\over{25}}-{{\pi^4\,\cos \left({{\pi}\over{12}}\right)\,
+ \cos \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin ^2\left({{6\,\pi\,t
+ }\over{5}}\right)\,\cos \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5
+ }}\right)}\over{36}}\right)}\over{900}}+{{\pi^3\,\sin \left({{\pi
+ }\over{12}}\right)\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\cos
+ \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}
+ \right)}\over{25}}-{{4\,\pi^2\,\cos \left({{\pi}\over{12}}\right)\,
+ \cos \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\cos \left({{\pi\,\cos
+ \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}\right)}\over{25}}
+ \right) , {{2\,\pi^3\,\cos \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin
+ \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin \left({{\pi\,\cos \left({{6
+ \,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}\right)}\over{15}}+{{\pi^3\,
+ \sin \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\cos \left({{6\,\pi\,t
+ }\over{5}}\right)\,\sin \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5
+ }}\right)}\over{36}}\right)}\over{5}}-{{\pi^4\,\sin \left({{2\,\pi\,
+ t}\over{5}}\right)\,\sin ^2\left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\cos
+ \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}
+ \right)}\over{180}}-{{4\,\pi^2\,\sin \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}
+ \right)\,\cos \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)
+ }\over{36}}\right)}\over{5}} , 5\,\left({{\pi^4\,\cos \left({{\pi
+ }\over{12}}\right)\,\sin ^2\left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin
+ \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}
+ \right)}\over{900}}+{{2\,\pi^3\,\sin \left({{\pi}\over{12}}\right)\,
+ \sin \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin \left({{6\,\pi\,t
+ }\over{5}}\right)\,\sin \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5
+ }}\right)}\over{36}}\right)}\over{75}}-{{\pi^3\,\sin \left({{\pi
+ }\over{12}}\right)\,\cos \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\cos
+ \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\sin \left({{\pi\,\cos \left({{6
+ \,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}\right)}\over{25}}+{{\pi^4\,
+ \sin \left({{\pi}\over{12}}\right)\,\cos \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}
+ \right)\,\sin ^2\left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)\,\cos \left({{\pi
+ \,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)}\over{36}}\right)}\over{
+}}+{{\pi^3\,\cos \left({{\pi}\over{12}}\right)\,\cos \left({{6\,
+ \pi\,t}\over{5}}\right)\,\cos \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t
+ }\over{5}}\right)}\over{36}}\right)}\over{25}}+{{4\,\pi^2\,\sin
+ \left({{\pi}\over{12}}\right)\,\cos \left({{2\,\pi\,t}\over{5}}
+ \right)\,\cos \left({{\pi\,\cos \left({{6\,\pi\,t}\over{5}}\right)
+ }\over{36}}\right)}\over{25}}\right)-9.81 \right] $$
 </hidden>
 ===== VIP VIP =====
@@ Line 148: / Line 263: @@
   * 13.5 U/min für die Scheibe
   * 14 U/min für die 4er Kreuze
-  * 2m Raduis der 4er Kreuze
+  * 2m Radius der 4er Kreuze
   * Sitze frei drehend
   * Facebook: https://www.facebook.com/paul.amacker.9
+<hidden POV-Ray und Maxima-Code>
+<code povray>
+// Kamera
+camera {
+      sky <0,0,1>          // Vektor, der festlegt, wo oben ist.
+      right <-4/3,0,0>     // Bildverhältnis 4:3, plus Spiegelung für rechtsdrehendes System
+      location <5,20,8>   // Position der Kamera
+      look_at <0, 0, 1>    // Blickrichtung (erscheint im Bildmittelpunkt)
+      angle 40             // Öffnungswinkel der Kamera
+}
+// Lichtquellen
+light_source {
+ <12,-2,12>              // Position des Lichts
+ color rgb <1,1,1>     // Farbe des Lichts, als rot-grün-blau Vektor (Komponenten 0 bis 1)
+}
+light_source {
+ <13,10,13>              // Position des Lichts
+ color rgb <1,1,1>     // Farbe des Lichts, als rot-grün-blau Vektor (Komponenten 0 bis 1)
+}
+// Boden (xy-Ebene, kariert mit Quadraten von Seitenlänge 1)
+plane {
+  z,0        // Ebene, senkrecht zu z=<0,0,1>, mit Abstand 0 zum Ursprung
+  pigment {  // Schachbrett
+    checker color rgb <1,1,1>, color rgb <0.2,0.2,0.2>
+  }
+  finish { reflection 0.4 }
+} // Ende Boden
+#macro ksysttrans(oi, xi, yi, zi)
+  matrix <xi.x, xi.y, xi.z,
+          yi.x, yi.y, yi.z,
+          zi.x, zi.y, zi.z,
+          oi.x, oi.y, oi.z>
+#end
+#declare zeit=clock*5;   // 5 Sekunden simulieren (etwas mehr als 1 Umdrehung)
+#declare h1=1.4;  // Höhe über Boden des Drehzentrums.
+#declare a1=5/360.0*2*pi;    // Neigungswinkel (in Radianten)
+#declare w2=13.5/60.0*2*pi;   // Drehgeschwindigkeit der Scheibe in rad/s
+#declare a2=w2*zeit;          // Momentaner Drehwinkel
+#declare r3=4.5;              // Distanz Bahnzentrum - Kreuzzentrum
+#declare w3=(-14-13.5)/60.0*2*pi;  //Drehgeschwindigkeit der Kreuze, relativ zur Scheibe, in rad/s
+#declare a3=w3*zeit;          // Momentaner Drehwinkel der Kreuze
+#declare r4=2;                // Distanz Kreuzzentrum - Passagier
+// K1 (Ebene der Drehscheibe)
+#declare x1=-sin(a1)*z+cos(a1)*x;
+#declare y1=y;
+#declare z1=cos(a1)*z+sin(a1)*x;
+#declare o1=h1*z;
+// K2 (Drehende Ebene)
+#declare x2=cos(a2)*x1+sin(a2)*y1;
+#declare y2=-sin(a2)*x1+cos(a2)*y1;
+#declare z2=z1;
+#declare o2=o1;
+// K3 (Drehende Kreuze)
+#declare x3=cos(a3)*x2+sin(a3)*y2;
+#declare y3=-sin(a3)*x2+cos(a3)*y2;
+#declare z3=z2;
+#declare o3=o2+r3*x2;
+#declare p=o3+r4*x3+0.5*z3;  // Position des Passagiers
+sphere {p, 0.3
+  pigment { color rgb x }
+}
+cylinder { p,p-10*z, 0.03
+  pigment { color rgb z }
+}
+// Definition in K2-Koordinaten
+cylinder { 0, 0.1*z, 7
+  pigment { checker color rgb x, color rgb x+y scale 2 }
+  // Transformation in K2 (bzw. umgekehrt)
+  transform { ksysttrans(o2, x2,y2,z2) }
+}
+</code>
+Maxima-Code (für die Ableitungen der Position)
+<code maxima>
+/* K0 */
+o0:[0,0,0];
+x0:[1,0,0];
+y0:[0,1,0];
+z0:[0,0,1];
+alpha1:5/180*%pi;
+h1:1.4;
+/* K1 schiefe Ebene */
+o1:o0+h1*z0;
+x1:-sin(alpha1)*z0+cos(alpha1)*x0;
+y1:y0;
+z1:cos(alpha1)*z0+sin(alpha1)*x0;
+/* Parameter K2 */
+omega2:27/2/60*2*%pi;
+alpha2:omega2*t;
+/* K2, drehende Ebene */
+o2:o1;
+x2:cos(alpha2)*x1+sin(alpha2)*y1;
+y2:-sin(alpha2)*x1+cos(alpha2)*y1;
+z2:z1;
+/* Parameter K3 */
+r3:4.5;
+w3:(-14-27/2)/60*2*%pi;
+a3:w3*t;
+o3:o2+r3*x2;
+x3:cos(a3)*x2+sin(a3)*y2;
+y3:-sin(a3)*x2+cos(a3)*y2;
+z3:z2;
+/* Passagier */
+r4:2;
+define(p(t), o3+r4*x3);
+define(v(t), diff(p(t),t));
+define(a(t), diff(v(t),t)-9.81*z0);
+/* Betraege der Geschwindigkeit und Beschleunigung */
+define(aa(t), sqrt(a(t).a(t)));
+define(vv(t), sqrt(v(t).v(t)));
+plot2d([vv(t),aa(t)],  [t, 0,10],
+[title, "Geschwindigkeit und Beschleunigung"],
+[legend, "v(t)", "a(t)"]);
+</code>
+Heraus kommt folgende Grafik:
+{{ :lehrkraefte:blc:math:vektoranalysis:insider-v-a.svg |}}
+Mit folgenden Vektoren für Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung:
+$$\vec{OP}(t) = \begin{pmatrix} 2\,\left(\cos \left({{\pi}\over{36}}\right)\,\sin \left({{9
+ \,\pi\,t}\over{20}}\right)\,\sin \left({{11\,\pi\,t}\over{12}}
+ \right)+\cos \left({{\pi}\over{36}}\right)\,\cos \left({{9\,\pi\,t
+ }\over{20}}\right)\,\cos \left({{11\,\pi\,t}\over{12}}\right)\right)
+ +4.5\,\cos \left({{\pi}\over{36}}\right)\,\cos \left({{9\,\pi\,t
+ }\over{20}}\right) \\ 2\,\left(\sin \left({{9\,\pi\,t}\over{20}}
+ \right)\,\cos \left({{11\,\pi\,t}\over{12}}\right)-\cos \left({{9\,
+ \pi\,t}\over{20}}\right)\,\sin \left({{11\,\pi\,t}\over{12}}\right)
+ \right)+4.5\,\sin \left({{9\,\pi\,t}\over{20}}\right) \\ 2\,\left(-
+ \sin \left({{\pi}\over{36}}\right)\,\sin \left({{9\,\pi\,t}\over{20
+ }}\right)\,\sin \left({{11\,\pi\,t}\over{12}}\right)-\sin \left({{
+ \pi}\over{36}}\right)\,\cos \left({{9\,\pi\,t}\over{20}}\right)\,
+ \cos \left({{11\,\pi\,t}\over{12}}\right)\right)-4.5\,\sin \left({{
+ \pi}\over{36}}\right)\,\cos \left({{9\,\pi\,t}\over{20}}\right)+1.4
+  \end{pmatrix} $$
+</hidden>
 ===== Weitere Bahnen =====
   * Rotierende Rotationsachse (plus freie Pendelbewegung):