| [["Erklären Sie, warum $\\binom{n}{m}+\\binom{n}{m+1} = \\binom{n+1}{m+1}$ ist, für natürliche Zahlen $n\\geq 1$ und $m\\leq n-1$.", "Die rechte Seite ist die Anzahl Möglichkeiten, aus $n+1$ Objekten $m+1$ Objekte auszuwählen (ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen). Für eine solche Auwahl gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder enthält diese Auswahl das \"letzte\" Objekt, wofür noch $m$ aus den restlichen $n$ ausgewählt werden müssen (also $\\binom{n}{m}$ Möglichkeiten), oder die Auswahl enthält das \"letzte\" Objekt nicht, wobei also $m+1$ Objekte aus den restlichen $n$ ausgewählt werden müssen (also $\\binom{n}{m+1}$ Möglichkeiten)."], ["Erklären Sie, warum $\\displaystyle \\sum_{i=0}^n \\binom{n}{i} = 2^n$ ist.", "$\\binom{n}{i}$ ist die Anzahl Möglichkeiten, $i$ Objekte aus $n$ auszuwählen. Zählt man alle diese Möglichkeiten zusammen, erhält man die Anzahl Möglichkeiten, eine beliebige Anzahl Objekte aus $n$ auszuwählen. Jedes Objekt kann ausgewählt werden, oder nicht, d.h. zwei Möglichkeiten pro Objekt, total also $2^n$ Möglichkeiten."], ["Warum ist der Koeffizient von $a^mb^{n-m}$ in $(a+b)^n$ gleich $\\binom{n}{m}$?", "Wenn $(a+b)^n = (a+b)\\cdot(a+b)\\cdot \\ldots (a+b)$ ausmultipliziert wird, wird jeweils von jeder Klammer 1 Faktor ausgewählt. Für $a^mb^{n-m}$ sind $m$ Faktoren $a$ auszuwählen, wofür es genau $\\binom{n}{m}$ Möglichkeiten gibt. Darum ist dies der entsprechende Koeffizient."], ["Leiten Sie die Berechnungsformel für $\\binom{n}{m}$ her.", "$\\binom{n}{m}$ steht für die Anzahl Möglichkeiten, aus $n$ Objekten $m$ auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Für das erste Objekt kann aus $n$ ausgewählt werden, für das zweite aus $n-1$ usw. Somit gibt es $n\\cdot(n-1)\\cdot(n-2)\\cdot \\ldots \\cdot(n-m+1)$ Möglichkeiten, geordnet $m$ Objekte aus $n$ auszuwählen. Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, wurden die Kombination mehrfach gezählt. Für eine Gruppe aus $m$ Objekten gibt es $n!$ Möglichkeiten, diese anzuordnen ($n$ Möglichkeiten, das erste zu platzieren, $n-1$ Möglichkeiten für das zweite etc.). Es muss also durch die Anzahl Mehrfachzählungen dividiert werden: $\\binom{n}{m} = \\frac{n\\cdot(n-1)\\cdot(n-2)\\cdot \\ldots \\cdot(n-m+1)}{n!} = \\frac{n!}{n! \\cdot (n-m)!}$."], ["Erklären Sie, warum $\\binom{n}{m} = \\binom{n}{n-m}$ ist.", "Wenn man $m$ aus $n$ Objekten auswählt, wählt man damit automatisch auch $n-m$ Objekte nicht aus. Damit gibt es gleich viele Möglichkeiten $m$ aus $n$ auszuwählen wie $(m-n)$ aus $n$ auszuwählen."]], | [["Erklären Sie, warum $\\binom{n}{m}+\\binom{n}{m+1} = \\binom{n+1}{m+1}$ ist, für natürliche Zahlen $n\\geq 1$ und $m\\leq n-1$.", "Die rechte Seite ist die Anzahl Möglichkeiten, aus $n+1$ Objekten $m+1$ Objekte auszuwählen (ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen). Für eine solche Auwahl gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder enthält diese Auswahl das \"letzte\" Objekt, wofür noch $m$ aus den restlichen $n$ ausgewählt werden müssen (also $\\binom{n}{m}$ Möglichkeiten), oder die Auswahl enthält das \"letzte\" Objekt nicht, wobei also $m+1$ Objekte aus den restlichen $n$ ausgewählt werden müssen (also $\\binom{n}{m+1}$ Möglichkeiten)."], ["Erklären Sie, warum $\\displaystyle \\sum_{i=0}^n \\binom{n}{i} = 2^n$ ist.", "$\\binom{n}{i}$ ist die Anzahl Möglichkeiten, $i$ Objekte aus $n$ auszuwählen. Zählt man alle diese Möglichkeiten zusammen, erhält man die Anzahl Möglichkeiten, eine beliebige Anzahl Objekte aus $n$ auszuwählen. Jedes Objekt kann ausgewählt werden, oder nicht, d.h. zwei Möglichkeiten pro Objekt, total also $2^n$ Möglichkeiten."], ["Warum ist der Koeffizient von $a^mb^{n-m}$ in $(a+b)^n$ gleich $\\binom{n}{m}$?", "Wenn $(a+b)^n = (a+b)\\cdot(a+b)\\cdot \\ldots (a+b)$ ausmultipliziert wird, wird jeweils von jeder Klammer 1 Faktor ausgewählt. Für $a^mb^{n-m}$ sind $m$ Faktoren $a$ auszuwählen, wofür es genau $\\binom{n}{m}$ Möglichkeiten gibt. Darum ist dies der entsprechende Koeffizient."], ["Leiten Sie die Berechnungsformel für $\\binom{n}{m}$ her.", "$\\binom{n}{m}$ steht für die Anzahl Möglichkeiten, aus $n$ Objekten $m$ auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Für das erste Objekt kann aus $n$ ausgewählt werden, für das zweite aus $n-1$ usw. Somit gibt es $n\\cdot(n-1)\\cdot(n-2)\\cdot \\ldots \\cdot(n-m+1)$ Möglichkeiten, geordnet $m$ Objekte aus $n$ auszuwählen. Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, wurden die Kombination mehrfach gezählt. Für eine Gruppe aus $m$ Objekten gibt es $m!$ Möglichkeiten, diese anzuordnen ($m$ Möglichkeiten, das erste zu platzieren, $m-1$ Möglichkeiten für das zweite etc.). Es muss also durch die Anzahl Mehrfachzählungen dividiert werden: $\\binom{n}{m} = \\frac{n\\cdot(n-1)\\cdot(n-2)\\cdot \\ldots \\cdot(n-m+1)}{m!} = \\frac{n!}{m! \\cdot (n-m)!}$."], ["Erklären Sie, warum $\\binom{n}{m} = \\binom{n}{n-m}$ ist.", "Wenn man $m$ aus $n$ Objekten auswählt, wählt man damit automatisch auch $n-m$ Objekte nicht aus. Damit gibt es gleich viele Möglichkeiten $m$ aus $n$ auszuwählen wie $(m-n)$ aus $n$ auszuwählen."]], |