lehrkraefte:ks:miniex:ex06 [https://fginfo.ksbg.ch Fachgruppe Informatik der KSBG]

Berechne die Halbwertszeit oder Verdoppelungszeit der nachfolgenden Prozesse:

Lösungen

Es ist $B(t+\Delta t)/B(t)=3^{\Delta t}=2$ also muss $\Delta t=\frac{\ln(2)}{\ln(3)}\approx 0.63$
Es ist $B(t+\Delta t)/B(t)=(\frac15)^{\Delta t}=\frac12$ also muss $\Delta t=\frac{\ln(\frac12)}{\ln(\frac15)}\approx 0.43$
Keine HWZ resp. VDZ, da kein exponentieller Prozess

Ein exponentieller Prozess startet mit $B_0=2$ und hat eine Verdopellungszeit von $3.5$. Gib die Funktion an.
Ein exponentieller Prozess startet mit $B_0=21$ und hat eine Halbwertszeit von $7$. Gib die Funktion an.
Ein exponentieller Prozess startet mit $B_0=3$ und hat eine Halbwertszeit von $0.2$. Gib die Funktion an.

Lösungen

Allgemein ist $B(t)=B_0\cdot q^t$.

Es ist $q^{3.5}=2$ also ist $q=2^\frac{1}{3.5}\approx 1.219$ und damit $B(t)=2\cdot 1.219^t$
Es ist $q^7=\frac 12$ also ist $q=\left(\frac12\right)^\frac{1}{7}\approx 0.9057$ und damit $B(t)=21\cdot 0.9057^t$
Es ist $q^{0.2}=\frac 12$ also ist $q=\left(\frac12\right)^5\approx 0.0313$ und damit $B(t)=3\cdot 0.0313^t$

Ein Kapital $K$ wächst jährlich um $3\%$. Nach wie vielen Jahren sind es $10\%$ mehr?
Ein Kapital wächst mit der Formel $K(t)=102\cdot 1.035^t$. Wie viel beträgt die jährliche Verzinsung?
Ein Kapital wächst während $10$ Jahren um $23\%$. Wie viel beträgt die jährliche Wachtumsrate und die Verdoppelungszeit?

Lösungen

$K\cdot 1.03^x = K\cdot 1.1 \Leftrightarrow x=\frac{\ln(1.1)}{\ln(1.03)}\approx 3.22$. Also nach 3.2 Jahren wenn man unterjährliche Verzinsung annimmt
$3.5\%$
$(1+x)^{10}=1.23$ also folgt $x=\sqrt[10]{1.23}\approx 0.0209$ also um ca. $2.09\%$ Prozent. Für die Verdoppelungszeit ergibt sich $\frac{\ln(2)}{\ln(1.0209)}\approx 33.48$ Also nach ca. 33 Jahren. Dies hätte man auch mit der «rule-of-72» abschätzen können: $\frac{72}{2}=36$.

Im Physikbuch ist folgendes Zerfallsgesetz resp. Wachtumsgesetz angegeben: $N(t)=N_0\cdot\mathrm{e}^{\lambda t}$.

Gib für $N_0=20$ und $\lambda=0.3$ die Gleichung in der Form $N(t)=N_0\cdot q^t$ an.
Gib die Halbwertszeit resp. Verdoppelungszeit an und die prozentuale Abnahme/Zerfall pro Zeiteinheit an.

Lösungen

Es gilt $q=\mathrm{e}^{\lambda}$ also $q\approx 1.3499$ und damit $N(t)=N_0\cdot 1.3499^t$
Weil $q>1$ muss $\mathrm e^{\lambda\Delta t} = 2$ sein, also ist $\Delta t=\frac{\ln(2)}{\lambda}\approx 2.31$. Die prozentuale Zunahme ist $q-1\approx1.3499-1=0.3499$ also ca. $35\%$.

Berta hat mit 20 Jahren Fr. 1200 gespart; Amos nur Fr. 1000. Bertas Ersparnisse nehmen mit Fr. 100 pro Jahr zu, die von Amos $5\%$. Wann hat Amos mehr als Berta?
Suzie sammelt Sticker, so wie Salomon. Salomon startet mit 17 Stickern, Suzie mit 37. Salomon hat pro Monat 2 Sticker mehr, Suzie nur einen. Wann hat Salomon mehr?
Tick hat Fr. 1000, Track Fr. 900. Tick investiert in Aktien von Frod mit einer jährlichen Rendite von $2\%$, Track in Aktien von Telso mit einer jährlichen Rendite von $1.5\%$. Wann hat Tick 50% mehr als Track?

Lösungen

Linear und exponentielles Wachstum mit $q=1+p$, also $q=1.05$. Damit ist $B_1(t)=1200+t\cdot 100$, $B_2(t)=1000\cdot 1.05^t$. Löst man $B_1(t)=B_2(t)$ auf, erhält man $t\approx 29$ Jahre.
Beides lineares Wachstum mit $B_1(t)=17+2t$ und $B_2(t)=37+t$. Löst man nach $t$ auf, erhält man $t=20$. Also nach dem 20. Jahr.
Beides exponentielles Wachstum, also $B_1(t)=1000\cdot 1.02^t$ und $B_2(t)=900\cdot 1.015^t$. Es muss gelten, dass $B_1(t)=1.5\cdot B_2(t)$. Löst man diese Gleichung auf, so erhält man $t\approx 61.07$. also nach ca. 61.7 Jahren.