Polynomdivison, ausgelagertes wegen Videolektion

Einzelarbeit, ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden

Geh wieder auf die Web-Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivisionueben.htm

Stelle den Level mindestens auf 3 und entferne (falls nötig) den Haken bei “Keine Aufgaben mit Rest”. Lerne dabei auch, wie man eine Lösung mit Rest aufscheibt.

Löse solange Aufgaben, bis du drei Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst.

Bemerkung: Ab diesem Level wird manchmal auch durch Polynome vom Grad 2 wie $2x^2-2x-1$ dividiert.

Achtung: Wenn du zu oft auf “Neue Aufgabe” drückst ohne Lösungen einzugeben, sinkt der Level.

Challenge / Bonusaufgabe für die Schnellen: (Ausklappen durch Anklicken)

Auf welchem möglichst hohen Level schaffst du eine Aufgabe fehlerfrei? Ich schreibe gerne eine Bestenliste an die Tafel! (Meine Testaufgabe auf Level 9 war gar relativ einfach.)

(a) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:

$$(x^5+2x^4+4x^3+3x^2+9x+8):(x^2+2x+3)$$

(b) Überprüfe dein Ergebnis per http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm. Wenn du etwas nach unten scrollst, siehst du die vollständige Polynomdivision. Ausserdem siehst du noch einmal, wie ein eventueller Rest anzugeben ist.

Vermutlich Demonstration der ersten Teilaufgabe an der Tafel, danach Einzelarbeit, ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden

Berechne

(a) $\qquad(x^4-1) : (x-1)$
(b) $\qquad(x^5+1) : (x+1)$
(c) $\qquad(x^5+4x^3+x^2+3x+3):(x^2+3)$

Prüfe deine Ergebnisse durch eine Probe oder online.

Hinweis: (bitte ausklappen durch Anklicken)

Wenn du naiv schriflicht losdividierts, bekommst du Platzprobleme.

Damit du “genug Platz hast”: Schreibe in der ersten Teilaufgabe den Dividenden $x^4-1$ als $$\boxed{x^4+0x^3+0x^2+0x-1} \qquad\text{ oder mit Abständen (für die fehlenden Terme) als }\qquad \boxed{x^4\phantom{+0x^3+0x^2+0x}-1}$$

Analog in der zweiten Teilaufgabe.

In der letzten Teilaufgabe darfst du neben dem Dividenden auch den Divisor $x^2+3$ entsprechend expandieren. Zwingend notwendig ist das nicht, aber vielleicht hilft es.

IM ENTSTEHEN, BITTE NOCH NICHT ANSCHAUEN!

Erinnerung Primfaktorzerlegung.

Ähnlich kann man Polynome in Faktoren zerlegen (ist aber im Allgemeinen ziemlich kompliziert).

Wir lernen ein Verfahren kennen, das oft funktioniert!

https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials

Ähnlich wie bei der Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen kann man Polynomen in Faktoren zerlegen, z. B. gilt:

$$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$ $$x^3-10x^2+31x-30= (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-5)$$ $$x^2-8x+15 = (x-3) \cdot (x-5)$$ $$x^2+2x-15 = (x-3) \cdot (x+5)$$

Es stellt sich aber die Frage: Wenn nur das Polynom auf der linken Seite gegeben ist, wie findet man eine solche Faktorzerlegung?

Wir erklären eine Strategie, die oft (und insbesondere bei Aufgaben in der Schule) zum Erfolg führt.

Informationen für Experten:

Das Polynom $X^2+1$ lässt sich nicht weiter in Faktoren zerlegen. (So etwas wie $X^2+1 = \frac 12 \cdot (2x^2+2)$ ist langweilig und “gilt nicht”.)
Die oben erklärte Strategie führt nicht immer zum Erfolg: Beispielsweise ist $X^2-2 = (x-\sqrt{2})\cdot (x+\sqrt{2})$ eine sinnvolle Faktorisierung, aber $\pm \sqrt{2}$ ist kein ganzzahliger Teiler von $-2$.

Der genaue mathematische Satz, der hinter unserer Strategie steckt, lautet (kein Schulstoff):

Satz

Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind ganzzahlig und Teiler des konstanten Koeffizienten.