| (Nächstes Mal besser: Zwei Parameter, $n$ für ein $n$-Eck, auf dessen Ecken die Zacken liegen, und $m$ gibt an, wie viele Ecken man weiter geht. Drehwinkel ist dann wohl $\frac{m \cdot 360^\circ}n$.) | (Nächstes Mal besser: Zwei Parameter, $n$ für ein $n$-Eck, auf dessen Ecken die Zacken liegen, und $m$ gibt an, wie viele Ecken man jeweils weiter geht. Drehwinkel ist $\frac{m \cdot 360^\circ}n$. (Lass einen Schüler dies für $n=5$ und $m=2$ ablaufen, andere zählen, um wieviel Grad er sich insgesamt gedreht hat.) |
| Zeichne einen Stern mit ''n'' Ecken, wobei $n$ eine ungerade((Warum lassen wir nur ungerade Zahlen $n$ zu? Wenn man als Zackenwinkel jeweils $\frac{180}{n}$ nimmt, kommt für geradzahliges $n$ genau dann ein $n$-zackiger Stern heraus, wenn ggT$(\frac{n}2 - 1, n) = 1$ gilt. Beispielsweise kommt für $n=6$ ein Dreieck heraus (denn ggT$(2, 6)=2\not=1$), aber kein sechszackiger Stern. Für ungerades $n$ ist die entsprechende Bedingung ggT$(\frac{n-1}2, n) = 1$ stets erfüllt. <html><br></html>All dies lässt sich mit komplexen Einheitswurzeln begründen: Die Punkte, an denen die Schildkröte dreht, gehen nacheinander durch Multiplikation mit einer fixen $n$-ten Einheitswurzel auseinander hervor. Nun kommt es darauf an, ob diese Einheitswurzel primitiv ist, was mit den genannten ggT-Bedingungen geprüft werden kann.)) Zahl ist. Für ''n = 11'' soll die Ausgabe wie folgt aussehen (die Füllung wird auf meinem Rechner "automatisch" so wie im Bild, auf anderen Rechnern wird einfach der gesamte Stern gefüllt). | Zeichne einen Stern mit ''n'' Ecken, wobei $n$ eine ungerade((Warum lassen wir nur ungerade Zahlen $n$ zu? Wenn man als Zackenwinkel jeweils $\frac{180}{n}$ nimmt, kommt für geradzahliges $n$ genau dann ein $n$-zackiger Stern heraus, wenn ggT$(\frac{n}2 - 1, n) = 1$ gilt. Beispielsweise kommt für $n=6$ ein Dreieck heraus (denn ggT$(2, 6)=2\not=1$), aber kein sechszackiger Stern. Für ungerades $n$ ist die entsprechende Bedingung ggT$(\frac{n-1}2, n) = 1$ stets erfüllt. <html><br></html>All dies lässt sich mit komplexen Einheitswurzeln begründen: Die Punkte, an denen die Schildkröte dreht, gehen nacheinander durch Multiplikation mit einer fixen $n$-ten Einheitswurzel auseinander hervor. Nun kommt es darauf an, ob diese Einheitswurzel primitiv ist, was mit den genannten ggT-Bedingungen geprüft werden kann.)) Zahl ist. Für ''n = 11'' soll die Ausgabe wie folgt aussehen (die Füllung wird auf meinem Rechner "automatisch" so wie im Bild, auf anderen Rechnern wird einfach der gesamte Stern gefüllt). |