Polynom-Division
Erinnerung an schriftliche Division (mit Rest) $\qquad$ (gebildete Bezeichnung: ganzzahlige Division)
Lehrervortrag, Tafel oder eTafel
Wir berechnen mit schriftlicher Division:
- $864192 : 7$
- $7538 : 13$
“Dasselbe” Verfahren funktioniert auch für Polynome, wie du nun lernen wirst!
Warum ist das nützlich?
- Faktorisierung (= Faktorzerlegung) von Polynomen und
- Vereinfachen von Polynombrüchen (= Brüchen mit Polynomen in Zähler und Nenner)
Das lernen wir in der nächsten Lektion.
Lernziel heute ist, das Verfahren zu erlernen.
Aufgabe 1: Lernen am Beispiel: Schriftliche Division von Polynomen
Partnerarbeit (oder auch Einzelarbeit), ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden
Versteht gemeinsam das Verfahren “schriftliche Division von Polynomen” mit Hilfe des hier verlinkten Beispiels.
Wer damit fertig ist, kann mit der nächsten Aufgabe weitermachen.
Aufgabe 2: Teste online, ob du das Verfahren verstanden hast
Einzelarbeit (gegenseitiges Helfen wie immer erlaubt), ca. 20 Minuten; bei Fragen bitte melden
- (a) Öffne in einem neuen Tab (neue Registerkarte) die Web-Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivisionueben.htm (vermutlich geht das automatisch, sonst
mouse right-click
oderCtrl
+mouse left-click
). - (c) Klicke dann auf den Button “Neue Aufgabe”.
- (d) Löse solange Aufgaben auf Level 1, bis du 3 Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst.
Hinweise:
- Zur Eingabe von Potenzen am Computer: Schreibe
4x^3
oder4*x^3
für $4x^3$.
- Wer Hilfe benötigt: Nutze die Hinweise im Fenster rechts oben oder frag mich.
- (e) Stelle den Level mindestens auf 3 und löse solange Aufgaben, bis du drei Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst.
Bemerkung: Ab diesem Level wird manchmal auch durch Polynome vom Grad 2 wie $2x^2-2x-1$ dividiert.
Achtung: Wenn du zu oft auf “Neue Aufgabe” drückst ohne Lösungen einzugeben, sinkt der Level.
- (f) Entferne dann den Haken bei “Keine Aufgaben mit Rest” und löse einige Aufgaben (mindestens auf Level 3), bei denen eventuell ein (von Null verschiedener) Rest verbleibt. Lerne dabei, wie man die Lösung angibt.
- Gibt es Fehler, aus denen ihr besonders viel gelernt habt?
- Sind Probleme aufgetaucht, die wir gemeinsam besprechen sollten?
Aufgabe 3: Mit Papier und Stift (oder Pen und Tablet), Vertiefung
Einzelarbeit, ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden
- (a) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:
$$(x^3+x^2-2x-8):(x-2)$$
- (b) Mache die Probe: Multipliziere dein Ergebnis mit $x-2$. (Alternative: Checke deine Lösung wie in (d).)
- (c) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:
$$(x^5+2x^4+4x^3+3x^2+9x+8):(x^2+2x+3)$$
- (d) Überprüfe dein Ergebnis per http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm: Trage (Dividend (= das zu Teilende) und Divisor (= der Teilende) ein und klicke auf den Button “Gleichheitszeichen”. Wenn dir das Ergebnis bei “Quotient” nicht klar ist, schau dir die schriftliche Division zwei “Felder” tiefer an.
Hinweise zur Prüfungsvorbereitung:
- Du kannst neue Aufgaben (mit vorgegebenem Level) über den Link in Aufgabe 2 erzeugen.
- Deine Ergebnisse kannst du relativ schnell über den Link in Aufgabe 3 testen, falls du lieber mit Papier und Bleistift arbeitest (wie in der Prüfung) als direkt am Computer.
- Auf http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm#aufgaben kannst du auch direkt eine Liste von Aufgaben mit Lösungen (und Lösungsweg) erzeugen. Der Level ist aber relativ hoch.
Aufgabe 4 (falls die Zeit reicht): Achtung bei "fehlenden Termen"
Vermutlich Demonstration der ersten Teilaufgabe an der Tafel, danach Einzelarbeit, ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden
Berechne
- (a) $\qquad(x^4-1) : (x-1)$
- (b) $\qquad(x^5+1) : (x+1)$
- (c) $\qquad(x^5+4x^3+x^2+3x+3):(x^2+3)$
Prüfe deine Ergebnisse durch eine Probe oder online.