lehrkraefte:snr:mathematik:klasse-1:2021-22:polynomdivision-1rg

Polynom-Division

Erinnerung an schriftliche Division (mit Rest)

Lehrervortrag, Tafel oder eTafel

Erinnerung an schriftliche Division am Beispiel (wie oft passt 7 in …; multiplizere; subtrahiere; wie oft passt 7 in …. usw.)

  • $95053 : 7$

Eine Variante dieses Verfahrens funktioniert auch für Polynome, wie du nun lernen wirst!

Warum ist das nützlich?

  • Faktorzerlegung und
  • Kürzen von Brüchen

Das lernen wir in der nächsten Woche.

Lernziel heute ist, das Verfahren “schriftliche Division von Polynomen” zu erlernen.

Aufgabe 1: Lernen am Beispiel, Schriftliche Division von Polynomen

Partnerarbeit (oder auch Einzelarbeit), ca. 10 Minuten; bei Fragen bitte melden

Versteht (im Sinne von “Rezept anwenden”) gemeinsam das Verfahren “schriftliche Division von Polynomen” mit Hilfe des hier verlinkten Beispiels.

Wer damit fertig ist, kann mit der nächsten Aufgabe weitermachen.

Aufgabe 2: Teste online, ob du das Verfahren verstanden hast

Einzelarbeit (gegenseitiges Helfen wie immer erlaubt), ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden

  • Vergössere das Fenster links oben etwas (oder scrolle dort nach unten) und setze den Haken bei “Keine Aufgaben mit Rest”:
  • Klicke auf den Button “Neue Aufgabe”.
  • Löse solange Aufgaben auf Level 1, bis du 3 Aufgaben fehlerfrei gelöst hast und dich sicher fühlst.

Hinweise:

  • Zur Eingabe von Potenzen am Computer: Schreibe 4x^3 oder 4*x^3 für $4x^3$.
  • Der Computer hilft dir, die Polynomdivision schrittweise durchzuführen und macht dich dabei sofort auf Fehler aufmerksam. Du sollst nicht die Division auf einem Blatt Papier durchführen und dann das Ergebnis eingeben.
  • Wie auf der letzten Seite der pdf-Datei oben geschrieben: Bei den Subtraktionen sind alle Terme von oben abzuschreiben, also in etwa so:
  • Wer Hilfe benötigt: Frag mich oder nutze die Hinweise im Fenster rechts oben.

Aufgabe 3: Mit Papier und Stift (oder Pen und Tablet), Vertiefung

Einzelarbeit, ca. 15 Minuten; bei Fragen bitte melden

  • (a) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:

$$(x^2+9x-22):(x-2)$$

Bemerkung: Wenn du richtig gerechnet hast, bleibt kein Rest übrig.

  • (b) Mache die Probe: Multipliziere dein Ergebnis mit $x-2$.
  • (c) Führe die folgende Polynom-Division mit Papier und Stift durch:

$$(x^3+x^2-2x-8):(x-2)$$

  • (d) Zeig mir deine Lösung! - Das erspart dir die Probe und ich sehe, dass du es verstanden hast.

Zusatzinfo: Du kannst auch online checken, ob du richtig gerechnet hast! (bitte durch Anklicken ausklappen)

Zusatzinfo: Du kannst auch online checken, ob du richtig gerechnet hast! (bitte durch Anklicken ausklappen)

Du kannst deine Rechnungen auch auf http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm überprüfen: Trage Dividend (= der zu Teilende) und Divisor (= der Teilende) ein und klicke auf den Button “Gleichheitszeichen”. Wenn du etwas nach unten scrollst, siehst du die vollständige Polynomdivision.

  • (e) Manchmal bleibt bei der Polynomdivision auch ein Rest übrig! Dividiere schriftlich

$$(x^2+9x-22):(x+2)$$

$\phantom{x}$

Hier ist die Lösung von (e) versteckt (bitte anklicken) - alternativ kannst du den Link in der Zusatzinfo oben verwenden

Hier ist die Lösung von (e) versteckt (bitte anklicken) - alternativ kannst du den Link in der Zusatzinfo oben verwenden

$$(x^2+9x-22):(x+2) = x+7 \qquad \text{ Rest } -36$$ oder anders geschrieben: $$x^2+9x-22 = (x+2) \cdot (x+7) -36$$

Bonus-Aufgabe

  • (f) Überlege dir anhand deiner Rechnung bei Teilaufgabe (c), warum das Verfahren “funktioniert”! Erkläre es deinem Nachbarn.

Computerunterstütztes Üben (eventuell sinnvoll bei der Prüfungsvorbereitung)

Anwendungen der Polynomdivision: Faktorzerlegung von Polynomen und warum dies nützlich ist

Verfahren zur Faktorzerlegung; Erklärung am Beispiel

Betrachte das folgende Polynom, das nur ganzzahlige Koeffizienten (und Leitkoeffizient 1) hat. $$x^2-x\underbrace{-6}_{\text{konstanter Koeffizient}}$$

(1) Schreibe alle positiven UND NEGATIVEN Teiler des konstanten Koeffizienten auf:

$$1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6$$

(2) Suche eine Nullstelle unter diesen Zahlen: (Eine Zahl heisst Nullstelle eines gegebenen Polynoms, wenn Null herauskommt, wenn wir $x$ durch diese Zahl ersetzen.)

  • Ist 1 eine Nullstelle? Rechnung: $1^2-1-6 = -6 \not= 0$. Also ist 1 keine Nullstelle.
  • Ist 2 eine Nullstelle? Rechnung: $2^2-2-6 = -4 \not= 0$. Also ist 2 keine Nullstelle.
  • Ist 3 eine Nullstelle? Rechnung: $3^2-3-6=0$. Also ist 3 eine Nullstelle. Wir brechen die Nullstellensuche erfolgreich ab.

(3) Dividiere das Ausgangspolynom durch $x-(\text{Nullstelle})$, also in unserem Fall durch $x-3$. Polynomdivision liefert1)

$$(x^2-x-6):(x-3) = x+2$$

oder umgeschrieben

$$x^2-x-6 = (x-3) \cdot (x+2)$$

Dies ist die gesuchte Faktorzerlegung (oder Faktorisierung) unseres Polynoms.

Bemerkungen:

  • Leicht sieht man, dass auch -2 eine Nullstelle unseres Polynoms ist. Hätten wir diese zuerst gefunden, hätten wir durch $x-(-2)$ dividiert und dieselbe Faktorisierung erhalten.
  • Der konstante Koeffizient von $(x-3) \cdot (x+2)$ ist $(-3)\cdot 2=-6$ (denn die drei “anderen Produkte” enthalten $x$ mindestens einmal). Dies erklärt im Rückblick, warum wir die Liste der Teiler des konstanten Koeffizienten betrachtet haben.

Dieses Verfahren zur Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten funktioniert oft, aber nicht immer.

In unserem Beispiel hatte das Polynom Grad 2 (= die höchste auftretende Potenz von $x$). Das Verfahren geht genauso für Polynome von höherem Grad, nur muss man dann oft sehr viele Teiler darauf testen, ob sie Nullstelle sind.

Aufgabe 4, Faktorisieren quadratischer Polynome (= Polynome vom Grad zwei)

Wende das soeben erlernte Faktorisierungs-Rezept auf die folgenden Polynome an:

(Auch Raten ist erlaubt!)

  1. $x^2 -3x +2$
  2. $x^2 -7x +10$
  3. $x^2 + 3x + 2$

Manchmal ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms auch aus anderen Gründen klar: Finde Faktorzerlegungen von (diese Faktorzerlegungen sind alle “offensichtlich”!)

  1. $x^2+3x$
  2. $x^2-6x+9$
  3. $x^2 - 4$
  4. $x^2 - 2$

Experten-Bemerkung:

Experten-Bemerkung:

Im letzten Beispiel versagt das obige Faktorisierungs-Rezept: Keiner der Teiler von -2 ist Nullstelle des Polynoms $X^2-2$.

Es gibt auch Polynome vom Grad zwei wie etwa $x^2+1$ (ohne Nullstelle), die sich nicht als Produkt zweier Polynome vom Grad eins schreiben lassen.

Deswegen steht in der Info-Box mit den beiden Beobachtungen das Wort “oft”.

Der genaue mathematische Satz, der hinter unserer Strategie steckt, lautet:

Satz (kein Schulstoff)

Rationale Nullstellen von normierten Polynomen mit ganzen Koeffizienten sind automatisch ganzzahlig und Teiler des konstanten Koeffizienten.

Lösungen:

Lösungen:

  1. $(x-1)(x-2)$
  2. $(x-2)(x-5)$
  3. $(x+1)(x+2)$
  1. Ausklammern: $x(x+3)$
  2. binomische Formel: $(x-3)^2$
  3. binomische Formel: $(x-2)(x+2)$
  4. binomische Formel: $x^2-2 = x^2-(\sqrt{2})^2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$

Warum ist eine Faktorzerlegung eines Polynoms wie beispielsweise

$$x^2-5x+6 = (x-2) \cdot (x-3)$$

nützlich?

Antwort: Sie ist hilfreich für das

  • Lösen von Gleichungen: Wenn man die Gleichung $x^2-5x+6=0$ lösen will2), so genügt es, die Gleichungen $x-2=0$ und $x-3=0$ zu lösen.
  • Kürzen von Brüchen: Es gilt

$$\frac{x^2-5x+6}{x-3} = \frac{(x-2) \cdot (x-3)}{x-3} = \frac{x-2}{1} = x-2$$ 3) oder etwas komplizierter $$\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2) \cdot(x+2)}{(x-2) \cdot (x-3)} = \frac{x+2}{x-3}.$$

Aufgabe 5, "Zahnrad"-Icon, Faktorisieren eines Polynoms vom Grad 3

Schreibe das folgende Polynom dritten Grades als Produkt dreier Polynome ersten Grades! $$x^3-6x^2+11x-6$$

Hinweis: (bitte ausklappen)

Hinweis: (bitte ausklappen)

Finde eine Nullstelle unter allen Teilern (mit und ohne Vorzeichen) des konstanten Terms. Dividiere durch $x-(\text{diese Nullstelle})$. Wende dasselbe Verfahren auf das Ergebnis an.

Lösung:

Lösung:

$(x-1)(x-2)(x-3)$

1)
Sie geht in diesem Fall stets ohne Rest auf, da wir durch $x-(\text{Nullstelle})$ dividieren.
2)
Was dasselbe ist wie das Bestimmen der Nullstellen von $x^2-5x+6$.
3)
was man auch direkt durch Polynomdivision sehen kann
  • lehrkraefte/snr/mathematik/klasse-1/2021-22/polynomdivision-1rg.txt
  • Last modified: 2022/04/13 11:14
  • by Olaf Schnürer