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--- kurse:efcomputergrafik:kw48 [2019/11/22 10:12]
Ivo Blöchliger [Vorgehen]
+++ kurse:efcomputergrafik:kw48 [2019/12/04 11:48] (current)
Ivo Blöchliger [Text-Analyse mit Python]
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 ===== Form der Polynome und deren Ableitungen =====
+Kontrollpunkte $\vec p_0$ bis $\vec p_n$:
+$$
+\vec p(t) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (1-t)^{n-i} \cdot t^i \cdot \vec p_i
+$$
+Für Grad 3:
+$$
+\vec p(t) = (1-t)^3 \cdot \vec p_0 + 3(1-t)^2t \cdot \vec p_1  + 3 \cdot (1-t)t^2 \cdot \vec p_2 + t^3 \cdot \vec p_3
+$$
 ===== Ableitungen von $p(t)$ für $t \in [0,1]$ =====
+$$
+v(t) = -3(1-t)^2 \cdot \vec p_0 +
+(1-t)(1-3t)\cdot \vec p_1 +
+t(2-3t) \cdot \vec p_2 +
+t^2 \cdot \vec p_3
+$$
-====== Interpolation mit kubischen Funktionen ======
+Man findet $\vec v(0) = 3(\vec p_1 - \vec p_0)$, also Tangente parallel zu $P_0P_1$.
-Gesucht ist eine kubische Funktion durch 2 gegebene Punkte $P=(0,y_P)$ und $Q=(1,y_Q)$ mit gegebenen Tangentensteigungen $m_P$ und $m_Q$ in diesen Punkten.
+Analog mit $\vec v(1) = 3(\vec p_3 - \vec p_2)$.
-Variante 1: Ansatz $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$, Gleichungssystem aufstellen, lösen.
+Mit Maxima:
+<code maxima>
+p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
+define(v(t), factorout(diff(p(t,a,b,c,d),t),t));
+tex(v(t));
+define(a(t), factorout(diff(v(t),t),t));
+tex(a(t));
+</code>
+liefert
+$$3\,d\,t^2+3\,b\,\left(t-1\right)\,\left(3\,t-1\right)-3\,c\,t\,
+ \left(3\,t-2\right)-3\,a\,\left(t-1\right)^2$$
+und
+$$-6\,c\,\left(3\,t-1\right)+6\,b\,\left(3\,t-2\right)+6\,d\,t-6\,a\,
+ \left(t-1\right)$$
+Interessant sind auch hier die Werte von $a(0)$ und $a(1)$:
+$$a(0) = 6\,c-12\,b+6\,a$$
+$$a(1) = 6\,d-12\,c+6\,b$$
+===== Darstellung von Kurven vom Grad 1 und 2 mit Hilfe von einer Kurve vom Grad 3 =====
+==== Grad 1 ====
+Damit die Geschwindigkeit für $t=0$ übereinstimmt, müssen die Kontrollpunkte sich bei $t=\frac{1}{3}$ und $t=\frac{2}{3}$ befinden. Beweis mit Maxima (ein OpenSource CAS-Programm):
+<code maxima>
+p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
+factorout(expand(p(t, a, (2/3*a+1/3*b), a/3+2/3*b,b)),t);
+tex(%);
+</code>
+liefert:
+$$b\,t+a\,\left(1-t\right)$$
+==== Grad 2 ====
+Für den Grad zwei, mit Kontrollpunkten $q_0, q_1, q_2$ ist $\vec v(0) = 2(\vec q_1-\vec q_0)$. Damit die Geschwindigkeiten für $t=0$ übereinstimmen muss $p_1 = \frac{1}{3}q_0 + \frac{2}{3}q_1$ sein. Analog für $p_2$.
+Beweis wieder mit Maxima:
+<code maxima>
+p(t,a,b,c,d):=(1-t)^3*a+3*(1-t)^2*t*b+3*(1-t)*t^2*c+t^3*d;
+factorout(expand(p(t, a, (2/3*b+1/3*a), c/3+2/3*b,c)),t);
+tex(%);
+</code>
+liefert:
+$$c\,t^2-2\,b\,\left(t-1\right)\,t+a\,\left(t-1\right)^2$$
-Variante 2: Anstatt die kanonische Basis $1,x,x^2,x^3$ zu verwenden, soll eine Basis mit der Eigenschaft gefunden werden, dass von folgenden Werten immer nur genau einer Eins und die restlichen Null sind: $b(0), b(1), b'(0), b'(1)$. Die gesuchte Lösung ergibt sich dann als einfache Linearkombination mit den gegebenen Koeffizienten.
 ====== Analyse von SVG-Pfaden ======
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     * Zeichnen (Validierung)
     * Interpolation
+  * Pfad-Klasse erstellen
+    * Als Sammlung von Bezier-Kurven
   * Plotter Koordinatensystem analysieren
     * Geometrische Definition
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 ===== Umgang mit Inkscape =====
+Download für die Schulcomputer: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:informatik:glf19:glf19#make_the_computer_zimmer_great_again
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