This is an old revision of the document!
Potenzen mit rationalen Exponenten
Skript
Schülerversion inklusive Lösungen, pdf
Lehrerversion inklusive Lösungen, pdf
Extrablatt mit Lückentexten und -formeln und Lösungen dazu
Skript mit Eintragungen: 2rG, pdf bzw. 2aLIM, pdf
… ein paar * Tafelfotos
Mini-Aufgaben
Mini-Aufgaben von Ivo Blöchliger im aktuellen Schuljahr.
- nach Definition 13.3: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw06-2023
- Aufgaben wie Aufgabe 13.10 und Primfaktorzerlegung als Vorbereitung auf Abschnitt “13.1 Normalform von Wurzeltermen”: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw08-2023
Einleitung
Bisher wurden nur Potenzen mit natürlichen Exponenten (= der Exponent ist eine natürliche Zahl) wie $a^2$ oder $b^{2023}$ oder etwas allgemeiner Potenzen mit ganzen (= ganzzahligen) Exponenten (= der Exponent ist eine ganze Zahl) wie $x^4$ oder $s^{-5}$ behandelt.
Im Folgenden wirst du lernen, wie man Potenzen mit rationalen Exponenten (= der Exponent ist eine rationale Zahl, also ein Bruch, dessenen Zähler und Nenner ganze Zahlen sind) wie $a^{\frac 23}$ sinnvoll definiert.
Das wichtige Wort im Titel ist also das Adjektiv rational!
Wiederholungen
Potenzen mit ganzzahligen (und insbesondere natürlichen) Exponenten
An Tafel:
- Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten: Spart Schreibarbeit, vgl. $a^{2023}$.
- Tabelle:
- Ein Kästchen nach rechts: Multiplikation mit $a$;
- Ein Kästchen nach links: Division mit $a$ (= Multiplikation mit $\frac 1a$).
- Führt zu sinnvoller Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten (und Exponent Null), falls die Basis nicht Null ist.
- Evtl. Tabelle weiter ausfüllen lassen.
Potenzgesetze mit natürlichen (und ganzzahligen) Exponenten
An Tafel: Potenzgesetze wiederholen (Beispiel, allgemeines Gesetz, Name; in etwa wie https://de.serlo.org/mathe/1867/potenzgesetze).
- Mini-Aufgabe: Potenzgesetze für natürliche Exponenten beweisen (per Reload werden zufällig drei von fünf(?) Aufgaben ausgeählt)
- Bonus: Nimm eines der fünf Potenzgesetze und überlege dir, dass es auch gilt, wenn $m$ (oder $n$, falls es vorkommt) negativ ist.
Textaufgabe zur Illustration der Potenzgesetze "im Alltag"
Empfehlung: Rechne mit Einheiten wie die Physiker. Einheiten darf man wie Variablen behandeln und somit auch die Potenzgesetze auf sie anwenden.
Der Bodensee hat (laut Wikipedia) eine Fläche von 536 km$^2$. Wir nehmen weiter an, dass ein Ölmolekül etwa $4 \cdot 10^{-10}$m$ = 0.4$nm (Nanometer) dick ist.1)
- Wie viel Öl in Kubikmetern wird benötigt, um einen Ölteppich auf dem Bodensee auszubringen, der genau ein Ölmolekül dick ist?
- Welche Menge Öl in Litern ist das?
- Wo hast du welches Potenzgesetz verwendet? (Ich vermute, dass du drei verschiedene Gesetze angewendet hast.)
Die obige Aufgabe ist stark idealisiert: Öl bildet auf Wasser im Idealfall eine monomolekulare kreisförmige Schicht (etwa ein Tropfen Öl in einem 50cm x 50cm Wasserbecken), bei grösseren Ölteppichen, wie sie etwa bei Öltankerhavarien entstehen, ist dies aber nicht der Fall.
Die Aufgabe ist eine Variante des Ölfleckexperiments. Wer mag, kann danach im Internet suchen. Gute englische Suchbegriffe sind auch “Franklin”, “oil experiment” , “Clapham pond”, “Franklin, do molecules exist”.
