Potenzen mit rationalen Exponenten

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Skript mit Eintragungen: 2rG, pdf bzw. 2aLIM, pdf

Lernziele

Kurzfassung: Skript bis Abschnitt 12.2 einschliesslich; dies schliesst das Verstehen der Musterlösungen zu den Aufgaben mit ein.

Wissen: Definition der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens), wie die Graphen dieser Funktionen aussehen, grundlegende Eigenschaften dieser Funktionen (z. B. die Identitäten in Aufgabe 12.5 samt Beweis), Umrechnung von Grad in Radiant (Bogenmass) und retour, Sinus und Cosinus in rechtwinkligen Dreiecken (GAGA Hühnerhof AG), wie man bei einem gleichschenkligen bzw. einem $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$-Dreieck aus einer Seite die beiden anderen ausrechnet.

Können: Aufgaben von ähnlichem Schwierigkeitsgrad wie die “Hammer und Schraubenschlüssel-Aufgaben” im Skript lösen können (bis Abschnitt 12.2 einschliesslich und zusätzlich Teilaufgabe~~n (c) und~~ (f) von Aufgabe 12.23) (inklusive Taschenrechner-Benutzung, wie in diesen Aufgaben geübt). Argumentationen zumindest stichwortartig angeben können. Die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens in eigenen Worten (mit Skizze) wiedergeben können.

Ein Kommazahl (= reelle Zahl) auf eine gewisse Anzahl signifikante Stellen angeben.

Mini-Aufgaben von Ivo Blöchliger im aktuellen Schuljahr.

nach Definition 13.3: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw06-2023
nach Merke 13.2: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw07-2023
Aufgaben wie Aufgabe 13.10 und Primfaktorzerlegung als Vorbereitung auf Abschnitt “13.1 Normalform von Wurzeltermen”: https://fginfo.ksbg.ch/dokuwiki/doku.php?id=lehrkraefte:blc:miniaufgaben:kw08-2023

Bisher wurden nur Potenzen mit natürlichen Exponenten (= der Exponent ist eine natürliche Zahl) wie $a^2$ oder $b^{2023}$ oder etwas allgemeiner Potenzen mit ganzen (= ganzzahligen) Exponenten (= der Exponent ist eine ganze Zahl) wie $x^4$ oder $s^{-5}$ behandelt.

Im Folgenden wirst du lernen, wie man Potenzen mit rationalen Exponenten (= der Exponent ist eine rationale Zahl, also ein Bruch, dessenen Zähler und Nenner ganze Zahlen sind) wie $a^{\frac 23}$ sinnvoll definiert.

Das wichtige Wort im Titel ist also das Adjektiv rational!

An Tafel:

Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten: Spart Schreibarbeit, vgl. $a^{2023}$.
Tabelle:
- Ein Kästchen nach rechts: Multiplikation mit $a$;
- Ein Kästchen nach links: Division mit $a$ (= Multiplikation mit $\frac 1a$).
Führt zu sinnvoller Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten (und Exponent Null), falls die Basis nicht Null ist.
Evtl. Tabelle weiter ausfüllen lassen.
Serlo: Aufgaben zu ganzzahligen Exponenten

An Tafel: Potenzgesetze wiederholen (Beispiel, allgemeines Gesetz, Name; in etwa wie https://de.serlo.org/mathe/1867/potenzgesetze).

Serlo: Aufgaben zu den Potenzgesetzen (ganzzahlige Exponenten)
Mini-Aufgabe: Potenzgesetze für natürliche Exponenten beweisen (per Reload werden zufällig drei von fünf(?) Aufgaben ausgeählt)
Bonus: Nimm eines der fünf Potenzgesetze und überlege dir, dass es auch gilt, wenn $m$ (oder $n$, falls es vorkommt) negativ ist.

Textaufgabe zur Illustration der Potenzgesetze "im Alltag"

Empfehlung: Rechne mit Einheiten wie die Physiker. Einheiten darf man wie Variablen behandeln und somit auch die Potenzgesetze auf sie anwenden.

Der Bodensee hat (laut Wikipedia) eine Fläche von 536 km$^2$. Wir nehmen weiter an, dass ein Ölmolekül etwa $4 \cdot 10^{-10}$m$ = 0.4$nm (Nanometer) dick ist.¹⁾

Wie viel Öl in Kubikmetern wird benötigt, um einen Ölteppich auf dem Bodensee auszubringen, der genau ein Ölmolekül dick ist?
Welche Menge Öl in Litern ist das?
Wo hast du welches Potenzgesetz verwendet? (Ich vermute, dass du drei verschiedene Gesetze angewendet hast.)

Die obige Aufgabe ist stark idealisiert: Öl bildet auf Wasser im Idealfall eine monomolekulare kreisförmige Schicht (etwa ein Tropfen Öl in einem 50cm x 50cm Wasserbecken), bei grösseren Ölteppichen, wie sie etwa bei Öltankerhavarien entstehen, ist dies aber nicht der Fall.

Die Aufgabe ist eine Variante des Ölfleckexperiments. Wer mag, kann danach im Internet suchen. Gute englische Suchbegriffe sind auch “Franklin”, “oil experiment” , “Clapham pond”, “Franklin, do molecules exist”.

Lösung

Man braucht etwas mehr als eine Badewanne Öl: