Miniaufgaben

Beachten Sie, dass via andere Kanäle keine Joker mehr eingelöst werden können. Bei Problemen werde ich Sie aber nach Möglichkeit unterstützen (mit genügend zeitlichem Vorlauf).

27. Mai 2024 bis 31. Mai 2024

Dienstag 28. Mai 2024

Zeigen Sie, dass von allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt das Quadrat jenes mit minimalem Umfang ist.

Lösung

Lösung

Sei $A$ die konstante Fläche der Rechtecke und $x$ die Seitenlänge eines dieser Rechtecke. Also ist $y=\frac{A}{x}$ die andere Seitenlänge. Damit ist der Umfang $U(x)=2(x+y) = 2\left(x+\frac{A}{x}\right)$. Wir suchen $x$ so, dass $U(x)$ minimal ist. Dazu bestimmen wir die Extremalstellen durch Nullsetzen der Ableitung $U'(x)=0$:

$$\begin{align*} U'(x) = 2\left(1-\frac{A}{x^2}\right) & = 0 \\ 1 & = \frac{A}{x^2} && x \neq 0 \\ x^2 & = A && x>0 \\ x & = \sqrt{A} \end{align*}$$ Für $x$ nahe bei Null, sowie für grosse $x$ wird der Umfang beliebig gross. Es muss sich also um das globale Minimum handeln.

Alternativ könnte man dafür die zweite Ableitung $U''(x) = 2\frac{A}{x^3}$ betrachten, die immer positiv ist (für positive $x$). Damit «macht der Graph immer eine Linkskurve» und wir haben ein echtes Minimum gefunden (und keinen Sattelpunkt).

Wenn $x=\sqrt{A}$ ist natürlich auch $y=\sqrt{A}$. So das Rechteck mit minimalen Umfang bei gegebener Fläche ein Quadrat.

Mittwoch 29. Mai 2024

Gegeben ist folgende Tabelle einer Kurvendiskussion. Zeichnen Sie die Punkte mit Tangenten ein und skzizieren Sie dann den Graphen unter der Annahmne, dass die dritte Ableitung von Null verschieden ist.

Lösungen

Lösungen

ruby kurvendiskussion-mit-tabelle.rb 1

3. Juni 2024 bis 7. Juni 2024

Dienstag 4. Juni 2024

Theaterbesuch, keine Miniaufgabe. Stattdessen eine Übungsaufgabe für die Prüfung.

Gegeben ist die Seite $c$ eines Dreiecks $ABC$ und der Umfang $U>2c$.

Hinweis: Heron'sche Flächenformel: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ mit $s=\frac{U}{2} = \frac{1}{2}(a+b+c)$.

Lösungsvorschlag

Lösungsvorschlag

  • Sei die Länge der Seite $a$ unsere Stellgrösse.
  • Daraus ergibt sich die Länge der Seite $b=U-a-c$
  • Die Fläche ergibt sich aus der Heron'schen Flächenformel:

$$ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \qquad \text{mit } s=\frac{U}{2} \text{ und } b=U-a-c = 2s-a-c. $$ Als Funktion von $a$: $$ A(a) = \sqrt{s(s-a)(s-(2s-a-c))(s-c)} = \sqrt{s(s-a)(a+c-s)(s-c)} $$ Anstatt von $A(a)$ bestimmen wir das Minimum von $f(a)=(A(a))^2 = s(s-a)(a+c-s)(s-c)$.

Ausmultiplizieren für die Koeffizienten von $a$ (Konstante Faktoren belassen):

$f(a) = s(s-c) \cdot \left(-a^2 +as-ac+as + s(a+c)\right) = s(s-c) \cdot \left(-a^2 +a\cdot(2s-c) + s(a+c)\right)$.

Diese Funktion ist quadratisch in $a$ mit negativem Öffnungsfaktor, wird also genau 1 Maximum im Scheitelpunkt haben.

Extremalstelle: \begin{align*} f'(x) & = 0 \\ s(s-c) \cdot (-2a + 2s-c) & = 0 && |:s(s-c),\quad +2a\\ 2s-c & = 2a && | :2 \\ \frac{U-c}{2} & = a \end{align*} Damit ist das gleichschenklige Dreieck das flächengrösste.

Mittwoch 5. Juni 2024

Prüfung, keine Miniaufgabe.

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